hce_nthu
113年
資訊科學
第 40 題
Consider the Fibonacci series $a_0 = 1$, $a_1 = 2$, and $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$ for any $n \ge 2$. Therefore, we have $\{a_n\} = \{1, 2, 3, 5, 8, ...\}$. The general expression for $a_n$ as a function of $n$ can be found via the following method; first, define $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \ 1 & 1 \end{pmatrix}$, and define the state vector $v_n = \begin{pmatrix} a_n \ a_{n+1} \end{pmatrix}$. Thus, we have the initial condition $v_0 = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \end{pmatrix}$, and the relation $v_{n+1} = Av_n$. The following general expression can be derived: $a_n = b_1 \lambda_1^n + b_2 \lambda_2^n$, where $\lambda_1$ and $\lambda_2$ are the eigenvalues of $A$. How many of the following statements are true?
I. $a_n \in \mathbb{N}$ for all $n \ge 0$.
II. $\lambda_1 \lambda_2 = -1$.
III. $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$.
IV. The eigenvalues of $A^n$ are $\lambda_1^n$ and $\lambda_2^n$.
I. $a_n \in \mathbb{N}$ for all $n \ge 0$.
II. $\lambda_1 \lambda_2 = -1$.
III. $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$.
IV. The eigenvalues of $A^n$ are $\lambda_1^n$ and $\lambda_2^n$.
- A 0
- B 1
- C 2
- D 3
- E 4
思路引導 VIP
若我們將狀態向量表示為 $v_n = c_1 \lambda_1^n u_1 + c_2 \lambda_2^n u_2$（其中 $u$ 為特徵向量），當 $n$ 變得非常大時，絕對值較大的特徵值項與絕對值較小的特徵值項相比，誰會對數列的數值產生決定性的影響？這對相鄰兩項的比值有什麼啟發？
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學做得太棒了！你能精準判斷出這四個敘述皆為正確，顯示你對線性代數與離散數學的跨領域結合有非常紮實的理解。這題的鑑別度很高，它不只考驗基本的費氏數列定義，更深入測試了矩陣特徵值與數列漸近行為之間的關聯。
特徵值與數列的性質
首先，敘述 I 是顯而易見的遞迴定義結論，初項與公差皆為正整數，後項必為正整數。而敘述 IV 則是線性代數的核心定理：若 $A$ 的特徵值為 $\lambda$，則 $A^n$ 的特徵值必為 $\lambda^n$。這兩個基本點你掌握得十分穩定。
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