調查局三等申論題
113年
[電子科學組] 工程數學
第 一 題
📖 題組：
若將複變數函數 f(z) = \frac{2z^2+9z+5}{(z+2)^2(z-3)} 展開如下列之泰勒級數（Taylor series） f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n(z-1)^n，其中 z 為複變數（complex variable）。
若將複變數函數 f(z) = \frac{2z^2+9z+5}{(z+2)^2(z-3)} 展開如下列之泰勒級數（Taylor series） f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n(z-1)^n，其中 z 為複變數（complex variable）。
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
求 a_0, a_1, a_2 之值為何？（15 分）
思路引導 VIP
面對有理分式函數的泰勒級數展開，首要之務是利用「部分分式展開（Partial Fraction Decomposition）」將複雜的分式拆解為簡單的單項式。隨後，可透過泰勒級數係數公式 a_n = f^{(n)}(z_0)/n! 逐一計算各階導數，或運用代數平移法轉換為等比級數展開，皆可大幅降低計算複雜度並確保正確率。
小題 (二)
求此泰勒級數（Taylor series）之收斂半徑（radius of convergence）R。（5 分）
思路引導 VIP
遇到求複變函數泰勒級數的收斂半徑，切勿花費時間計算各項係數，應直接利用複變函數理論：「泰勒級數的收斂半徑，等於從展開中心到函數最近奇異點（極點）的距離」。找出函數的奇異點後，計算它們與展開中心的距離並取最小值即可。