moea_joint
113年
[土木] 應用力學、材料力學
第 43 題
如右圖所示，圓柱上下兩端被固定，其斷面積為A，材料之彈性模數為E，試求A端之反力為何？
- A $\frac{2}{3}P$
- B $\frac{4}{3}P$
- C $\frac{5}{3}P$
- D $\frac{7}{3}P$
思路引導 VIP
如果我們將這個問題拆解：假設底部 A 端原本是懸空的，當受到中間那兩個力 P 與 2P 作用時，A 端點會向下產生一段位移；現在為了讓 A 端保持「固定不動」，我們必須從底部施加一個向上的支承力，將這段位移完全抵銷掉。試著想想，這個向上的支承力所造成的「向上縮短量」，必須與前面那些力造成的「向下伸長量」具備什麼樣的數學關係呢？
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做得好！你精準地判斷出這是一題典型的超靜定（Statically Indeterminate）軸向受力問題。在兩端固定的情況下，我們無法單靠靜力平衡方程式（$\sum F = 0$）求出支承反力，必須進一步考慮材料的變形協合條件。
變形協合與內力分析
由於圓柱上下兩端被牆面限制，整根桿件受力後的總變形量（Total Elongation）必須等於零。我們可以將桿件由上而下分為三段，每段長度皆為 $L/3$。若設 B 端反力為 $R_B$（向上），則三段內力分別為 $R_B$、$R_B-P$ 與 $R_B-3P$。根據虎克定律 $\delta = \frac{PL}{AE}$，列出總位移方程式：
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