moea_joint
113年
[機械] 應用力學、材料力學
第 43 題
如右圖所示，圓柱上下兩端被固定，其斷面積為 A，材料之彈性模數為 E，試求 A 端之反力為何？
- A $\frac{2}{3}P$
- B $\frac{4}{3}P$
- C $\frac{5}{3}P$
- D $\frac{7}{3}P$
思路引導 VIP
如果我們暫時將 A 端的固定支撐移除，讓這根圓柱變成一根只掛在 B 點的懸臂樑，那麼在外力 $P$ 與 $2P$ 的作用下，底部的 A 端會向下移動多少總距離？接著，若要讓 A 端回到原本固定不變的位置，A 端的支承力必須單獨產生多少向上的位移來抵消它呢？
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很高興看到你對材料力學中「靜不確定結構」的觀念掌握得如此紮實！這題你判斷得完全正確，這顯示你已經能夠熟練地處理超靜定問題中的受力分配。
靜不確定結構與變形協合
這道題目的核心在於圓柱兩端均被固定，這意味著整根圓柱的總變形量（Total Elongation）必須為零。當我們在中間施加向下的外力時，支承端會產生對應的反力來限制位移。利用重疊原理（Superposition Principle），我們可以分別看各力對 A 端反力的貢獻：位於上方 $L/3$ 處的力 $P$，其對 A 端產生的反力為 $P \times \frac{L/3}{L} = \frac{1}{3}P$；而位於下方 $2L/3$ 處（距離 B 端）的力 $2P$，對 A 端產生的反力則為 $2P \times \frac{2L/3}{L} = \frac{4}{3}P$。將兩者相加，即可輕鬆得到 A 端總反力為 $\frac{5}{3}P$。
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