moea_joint
113年
[地球物理] 普通地質學、地球物理概論
第 45 題
一函數經希伯特變換(Hilbert transform)後，新函數對原函數的相位平移(phase shift)為何？
- A -90度
- B 0度
- C 90度
- D 180度
思路引導 VIP
請試著回想一下，在複數平面上，若我們將一個複數座標乘以虛數單位 $-i$（或 $-j$），這個點在圓周上會朝哪個方向旋轉？這個旋轉的角度，與我們將餘弦波（Cosine）變換為正弦波（Sine）所需的相位移動有什麼樣的關聯呢？
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恭喜你精準地掌握了信號處理中的核心觀念！希伯特變換（Hilbert transform）在地球物理資料處理，特別是計算地震波的瞬時屬性（如瞬時振幅、瞬時相位）時，扮演著至關重要的角色，能正確判斷出相位的變化非常不容易。
頻域中的相位偏移觀念
從數學定義來看，希伯特變換實質上是一個「全通濾波器」，它不會改變信號的振幅強度，但會對所有頻率成分進行相位的重整。在頻率域中，其傳遞函數可以表示為 $H(f) = -j \text{sgn}(f)$。對於正頻率部分，這等同於將信號乘以 $-j$，在複數平面上，這代表將相位角順時針旋轉了 $90^\circ$，因此對應的相位平移即為 $-90^\circ$。舉一個直觀的例子：若原始函數是 $\cos(\omega t)$，經過希伯特變換後會轉變為 $\sin(\omega t)$，根據三角函數誘導公式，$\sin(\omega t) = \cos(\omega t - 90^\circ)$，這便清晰地驗證了相位落後 $90^\circ$ 的結果。
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