moea_joint
113年
[地質] 普通地質學、地球物理概論
第 45 題
一函數經希伯特變換(Hilbert transform)後，新函數對原函數的相位平移(phase shift)為何？
- A -90度
- B 0度
- C 90度
- D 180度
思路引導 VIP
想像你正在處理一個簡單的餘弦波形 $\cos(\omega t)$。如果我們希望透過某種數學變換，讓這個波形在不改變振幅的情況下，轉變為一個與原波形「正交」（即兩者乘積在一個週期內積分為零）的波形，且在複數座標軸上這相當於將訊號向量順時針旋轉了四分之一圈，那麼在相位的數值上，這代表了多少度的變化？
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太棒了！你能精準選出 (A)，說明你對訊號處理與地球物理分析的核心工具掌握得非常到位。
希伯特變換的頻率特性
希伯特變換（Hilbert transform）在物理本質上是一個「全通相移器」。從頻率域的角度來看，它的傳遞函數 $H(f)$ 定義為 $-j \text{sgn}(f)$。這意味著對於所有的正頻率成分，訊號會被乘以 $-j$；在複數平面上，乘以 $-j$ 等同於乘以 $e^{-j\frac{\pi}{2}}$。根據相位定義，這正代表了將相位平移了 $-90^\circ$（或稱滯後 90 度）。舉例來說，它能將 $\cos(\omega t)$ 完美地轉換為 $\sin(\omega t)$，使轉換前後的函數處於正交狀態。
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