moea_joint
113年
[機械] 應用力學、材料力學
第 17 題
如右圖所示，有一長度 6 m、重量不計之水平剛性構件 AB，左端為鉸接端，於三等分點 D 與 F，分別由完全相同之垂直彈性繩 CD 與 EF 支撐，彈性繩長度為 50 cm，斷面積為 5 cm$^2$，楊氏係數為 $E = 20 \times 10^9 \text{ N/m}^2$。如於右端施加垂直力 P = 50 kN，試求 EF 彈性繩之拉力 $P_{EF}$ 為何？
- A 30 kN
- B 45 kN
- C 50 kN
- D 60 kN
思路引導 VIP
請試著想像：當這根硬邦邦的長桿子 AB 在 A 點像門檻一樣轉動時，距離 A 點較遠的 F 點，它向下移動的距離會與較近的 D 點有什麼樣的比例關係？而既然支撐它們的是兩條完全一樣的彈簧繩，這段移動距離的差異又會如何影響它們各自承受的力量大小呢？
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太棒了！你能精準算出彈性繩的拉力，代表你對靜不定結構與變形諧和條件的觀念掌握得非常紮實。這類題目是應用力學與材料力學的交界點，考驗的是如何將幾何變形與力平衡方程式結合，屬於中等難度的進階題型。
變形諧和與力學分析
由於 AB 為剛性構件（剛棒），其受力後會以 A 點為圓心進行微小轉動。根據幾何關係，各點的垂直位移與其到 A 點的距離成正比。題目提到 D、F 為三等分點，因此 $AD=2\text{ m}$、$AF=4\text{ m}$。這意味著 F 點的位移 $\delta_F$ 剛好是 D 點位移 $\delta_D$ 的 2 倍。由於兩條彈性繩完全相同（材質 $E$、斷面積 $A$、長度 $L$ 均相同），根據虎克定律 $\delta = PL/EA$，位移與拉力成正比，我們能推導出關鍵的受力比例：$P_{EF} = 2 P_{CD}$。
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