ast_essay
114年
數學甲
第 13 題
📖 題組：
某商店以抽獎方式販售一熱門公仔，每次抽獎都互相獨立且抽中的機率為 $\frac{2}{5}$。 參加者可用以下兩種方式參加抽獎。 方式一：先付 225 元得到兩次抽獎機會，只要抽中即停止抽獎且得到一個公仔；若這兩次皆未抽中，則必須再多付 75 元得到一個公仔。 方式二：抽獎次數不限，每抽獎一次付 100 元。 根據上述，試回答下列問題。
某商店以抽獎方式販售一熱門公仔，每次抽獎都互相獨立且抽中的機率為 $\frac{2}{5}$。 參加者可用以下兩種方式參加抽獎。 方式一：先付 225 元得到兩次抽獎機會，只要抽中即停止抽獎且得到一個公仔；若這兩次皆未抽中，則必須再多付 75 元得到一個公仔。 方式二：抽獎次數不限，每抽獎一次付 100 元。 根據上述，試回答下列問題。
若以方式二抽獎直到抽中一個公仔為止，試依期望值定義，使用 $\sum$ 符號表示所需抽獎次數的期望值，並求其值。（非選擇題，4 分）
思路引導 VIP
看到本題先辨識考點為「期望值定義」與「幾何分布」。 切入順序：
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
幾何分佈與期望值的定義
恭喜你準確地判斷出這道題目的核心！這題要求我們處理的是一個典型的幾何分佈模型，即在獨立重複試驗中，直到第一次成功所需的次數。你能正確識別出每次抽中的機率 $p = \frac{2}{5}$，並算出期望值為 $\frac{5}{2}$，顯示你對機率模型的直覺非常敏銳。 根據期望值的定義，我們必須將所有可能的抽獎次數 $k$ 與其對應的機率相乘並加總。由於抽獎次數理論上可以趨於無窮大，其表示式如下：
▼ 還有更多解析內容