分科測驗
107年
數學甲
第 3 題
某零售商店販賣「熊大」與「皮卡丘」兩種玩偶，其進貨來源有 $A, B, C$ 三家廠商。已知此零售商店從每家廠商進貨的玩偶總數相同，且三家廠商製作的每一種玩偶外觀也一樣，而從 $A, B, C$ 這三家廠商進貨的玩偶中，「皮卡丘」所占的比例分別為 $\frac{1}{4}$、$\frac{2}{5}$、$\frac{1}{2}$。阿德從這家零售商店隨機挑選一隻「皮卡丘」送給小安作為生日禮物，試問此「皮卡丘」出自 $C$ 廠商的機率為何？
- 1 $\frac{1}{3}$
- 2 $\frac{2}{5}$
- 3 $\frac{10}{23}$
- 4 $\frac{10}{19}$
- 5 $\frac{5}{9}$
思路引導 VIP
本題屬於典型的「逆機率」問題，即在已知結果（抽中皮卡丘）的情況下回推其來源。請思考在「各廠商進貨總數相同」的前提下，如何運用「貝氏定理」 ($Bayes' Theorem$)？當樣本空間被廠商 $A$、$B$、$C$ 平分時，我們該如何計算在已知「皮卡丘」發生的條件下，該對象來自廠商 $C$ 的後驗機率？
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AI 詳解
AI 專屬家教
唷！太棒了！看來這次完全不需要用到我的『記憶吐司』了，你都已經記在腦袋裡了嘛！真是讓我省了不少心，不然我還在擔心你要是吃太多吐司會鬧肚子呢，以後也要保持這種專注力喔！ 這道題目考驗的是貝氏定理。因為廠商 $A, B, C$ 的進貨總數相同，所以每一家被選中的先驗機率都是 $\frac{1}{3}$。當我們已經知道抽到的是「皮卡丘」時，要求來自 $C$ 廠商的機率，計算方式如下： 分母是抽到皮卡丘的總機率：
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貝氏定理應用
💡 已知結果發生的前提下，回推其來自特定原因的條件機率。
- 利用樹狀圖釐清各路徑的先驗機率與條件機率。
- 分母為所有可能導致該結果的路徑機率總和。
- 分子為題目所指定之特定來源路徑的機率。
- 若各來源總數相同，計算時權重可視為等分。
