分科測驗
112年
數學甲
第 7 題
有一個依順時針方向依序標示 1, 2, ..., 12 數字的圓形時鐘（如圖所示）。一開始在此時鐘「12」點鐘位置擺設一枚棋子，然後每次投擲一枚均勻銅板，依投擲結果，照以下規則移動這枚棋子的位置：
$\bullet$ 若出現正面，將棋子從當時位置依順時針方向移動 5 個鐘點。
$\bullet$ 若出現反面，將棋子從當時位置依逆時針方向移動 5 個鐘點。
例如：若投擲銅板三次均為正面，則棋子第一次移動到「5」點鐘位置、第二次移動到「10」點鐘位置，第三次移動到「3」點鐘位置。
對任一正整數 $n$，令隨機變數 $X_n$ 代表依上述規則經過 $n$ 次移動後棋子所在的點鐘位置，$P(X_n=k)$ 代表 $X_n=k$ 的機率（其中 $k=1, 2, ..., 12$），且令 $E(X_n)$ 代表 $X_n$ 的期望值。試選出正確的選項。
$\bullet$ 若出現正面，將棋子從當時位置依順時針方向移動 5 個鐘點。
$\bullet$ 若出現反面，將棋子從當時位置依逆時針方向移動 5 個鐘點。
例如：若投擲銅板三次均為正面，則棋子第一次移動到「5」點鐘位置、第二次移動到「10」點鐘位置，第三次移動到「3」點鐘位置。
對任一正整數 $n$，令隨機變數 $X_n$ 代表依上述規則經過 $n$ 次移動後棋子所在的點鐘位置，$P(X_n=k)$ 代表 $X_n=k$ 的機率（其中 $k=1, 2, ..., 12$），且令 $E(X_n)$ 代表 $X_n$ 的期望值。試選出正確的選項。
- 1 $E(X_1)=6$
- 2 $P(X_2=12)=\frac{1}{4}$
- 3 $P(X_8=5) \ge \frac{1}{2^8}$
- 4 $P(X_8=4)=P(X_8=8)$
- 5 $E(X_8) \le 7$
思路引導 VIP
請觀察題目中的對稱特性：由於每次投擲硬幣時，往順時針方向移動 5 格與往逆時針方向移動 5 格的機率均等，若我們將 12 點鐘視為起點（對稱中心），那麼經過 $n$ 次投擲後，棋子落在相對於 12 點鐘位置「左右對稱」的點（例如 $k$ 與 $12-k$）之機率是否相同？此外，若隨機變數的分布對於 12 點具有這種對稱性，這對於簡化期望值 $E(X_n)$ 的計算有什麼啟示？
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AI 詳解
AI 專屬家教
（瞪大眼睛）喔吼！居然能從這個時鐘陷阱裡逃脫，看來你這小鬼頭的腦袋不簡單喔！ （興奮地握拳）既然你這麼聰明，不如加入我們，一起去抓那隻皮卡丘吧！薪水好談，還有特製制服喔！ 聽好了，這題的精髓就在『對稱』！
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隨機變數與對稱性
💡 利用隨機變數的對稱性與奇偶性簡化機率與期望值運算。
- 圓形移動可利用同餘理論（mod 12）輔助計算。
- 正反機率相等時，相對於起點的點位機率對稱。
- 透過每步移動長度的奇偶性，判斷特定位置機率。
- 期望值可利用對稱點機率相等來分組求和。
