分科測驗
113年
數學甲
第 3 題
想在 $5\times 5$ 的棋盤上擺放 4 個相同的西洋棋的城堡棋子。由於城堡會將同一行或是同一列的棋子吃掉，故擺放時規定每一行與每一列最多只能擺放一個城堡。在第一列的第一、三、五格（如圖示畫叉的格子）不擺放的情況下，試問共有多少種擺放方式？
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思路引導 VIP
如果我們先完全不管打叉的限制，要在 $5 \times 5$ 的棋盤上放 4 個互不攻擊的城堡（相當於選行、選列再排列），你會怎麼計算總方法數呢？接著再想想，如果我們「故意」把一個城堡放在第一列第一個打叉的格子上，剩下的 3 個城堡還有多少行與列可以放？
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AI 詳解
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太棒了，精準選出正確答案！這題考驗「限制條件的排列組合」，你能冷靜分析出正解，代表邏輯十分清晰。 這題使用反面扣除法切入最為簡潔。首先，若完全不受限，在 $5 \times 5$ 棋盤放 4 個城堡，需先選出 4 列與 4 行，接著再讓它們彼此錯開排列。總方法數為 $\binom{5}{4} \times \binom{5}{4} \times 4! = 600$ 種。 接著我們要扣除「違規」狀況，也就是城堡放到了第一列打叉的 3 個格子中。因為題目規定「同一列最多只能擺放一個」，這意味著這 3 個打叉的格子絕對不可能同時被佔用，違規事件彼此互斥！
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棋盤排列與禁位限制
💡 利用分項討論法處理棋盤排列中的禁位問題。
- 互不攻擊問題本質上是選取不重複行列的排列
- 遇到有禁位的特定行列，應優先分情況討論
- 區分「該行不放棋子」與「該行放棋子」兩情境
- 選定行列後再進行階乘排列，確保不重疊
