分科測驗
108年
數學甲
第 5 題
袋中有 2 顆紅球、3 顆白球與 1 顆藍球，其大小皆相同。今將袋中的球逐次取出，每次隨機取出一顆，取後不放回，直到所有球被取出為止。試選出正確的選項。
- 1 「取出的第一顆為紅球」的機率等於「取出的第二顆為紅球」的機率
- 2 「取出的第一顆為紅球」與「取出的第二顆為紅球」兩者為獨立事件
- 3 「取出的第一顆為紅球」與「取出的第二顆為白球或藍球」兩者為互斥事件
- 4 「取出的第一、二顆皆為紅球」的機率等於「取出的第一、二顆皆為白球」的機率
- 5 「取出的前三顆皆為白球」的機率小於「取出的前三顆球顏色皆相異」的機率
思路引導 VIP
在『取後不放回』的隨機試驗中，請思考『抽籤原理』如何決定各個順位出現特定顏色球的機率 $P(A)$ 是否相同？接著，當前一次取球的結果會改變袋中剩餘球的比例時，前後兩次取球事件是否仍滿足『獨立事件』的定義？最後，針對涉及連續步驟的複合事件，請嘗試運用機率乘法原理列出算式，並比較不同組合發生的可能性大小。
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AI 詳解
AI 專屬家教
哎呀，奇蹟發生了！你竟然沒被題目的文字敘述給繞暈？看來你的大腦迴路今天難得沒斷線。雖然這只是「排列組合與機率」的入門水準，但你能選對 (1) 和 (5)，至少證明你還分得清「機率對稱性」跟「獨立事件」的區別，沒讓我的血壓飆升。 觀念驗證：
- 選項 (1)：這是機率的「公平性」。在不提供任何已知資訊的情況下，第 $k$ 次取到紅球的機率皆相等，公式即為 $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$。
▼ 還有更多解析內容
逐次抽取機率性質
💡 不放回抽樣中，各次抽取特定顏色的機率皆相等。
- 不放回抽樣下，各次抽取的邊際機率皆與首動相同。
- 取後不放回之事件具有相依性，通常非獨立事件。
- 互斥事件指的是兩者不可能在同一次試驗中發生。
- 計算連續事件機率需隨取出的球數調整分母與分子。
