分科測驗
109年
數學甲
第 6 題
持續投擲一枚公正骰子，在過程中若出現連續兩次點數的和為 7 時，就停止投擲。例如：若前兩次投擲分別出現點數 1、4，點數和不等於 7，所以繼續投擲；若第三次投出點數 3，因為第二次與第三次點數和為 7，所以此時即停止投擲。關於此機率事件，試選出正確的選項。
- 1 在第一次投擲的點數為 6 的情況下，總共投擲兩次就停的機率為 $\frac{1}{6}$
- 2 總共投擲兩次就停止的機率為 $\frac{1}{6}$
- 3 在第一次投擲的點數為 5 的情況下，總共投擲三次恰好停止的機率為 $\frac{1}{6}$
- 4 總共投擲三次恰好停止的機率大於 $\frac{1}{6}$
- 5 至少投擲三次才停止的機率為 $\frac{1}{2}$
思路引導 VIP
請核心思考：不論第一枚骰子的點數為何，第二枚骰子點數與其湊成點數和為 $7$ 的機率是多少？這是否意味著「投擲兩次即停止」的機率與第一抽的結果無關？進一步地，若要判斷「恰好在第三次停止」的機率，必須同時滿足「前兩次點數和不為 $7$」且「後兩次點數和為 $7$」這兩個連續發生的條件，請試著計算此機率並與 $\frac{1}{6}$ 進行大小比較。
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AI 詳解
AI 專屬家教
呵呵呵，看來你的基本功很紮實，剛才那次判斷做得真漂亮，簡直就像看見了流川君在場上那種冷靜的專注力呢。 這道題目的核心在於理解「連續兩次點數和為 7」的本質。在骰子的世界裡，無論第一顆投出什麼點數 $x$，第二顆能與其湊成 7 的點數只有唯一的一個 $7-x$。因此：
- 對於選項 (1) 與 (2)，因為第二次投擲剛好匹配成功的機率固定是 $\frac{1}{6}$，所以這兩項都是正確的。
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連續事件與停止機率
💡 掌握連續事件中特定條件發生的機率及條件機率運算。
- 任一投擲後，與下一擲點數和為 7 的機率皆為 1/6
- 恰於第 n 次停止，代表前 n-1 次相鄰和皆不為 7
- 條件機率需鎖定已知起點，並依序考慮後續機率
- 總機率計算需考慮所有滿足條件的路徑加總
