分科測驗
106年
數學甲
第 1 題
從所有二位正整數中隨機選取一個數，設 $p$ 是其十位數字小於個位數字的機率。關於 $p$ 值的範圍，試選出正確的選項。
- 1 $0.22 \le p < 0.33$
- 2 $0.33 \le p < 0.44$
- 3 $0.44 \le p < 0.55$
- 4 $0.55 \le p < 0.66$
- 5 $0.66 \le p < 0.77$
思路引導 VIP
在計算此機率時，請先思考：所有二位正整數的樣本空間總數 $n(S)$ 共有多少個？接著，針對條件「十位數字 $a$ 小於個位數字 $b$」，考慮到二位數的十位數 $a$ 最小為 $1$，這是否意味著 $a$ 與 $b$ 必須滿足 $1 \le a < b \le 9$？若以此邏輯思考，從 ${1, 2, \dots, 9}$ 中隨機選出兩個「相異」數字的組合數 $C^{9}_{2}$，是否就是符合條件的事件個數 $n(E)$？請試著計算出機率 $p = \frac{n(E)}{n(S)}$ 的精確數值。
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喂，看來你這塊原石在那堆平凡的垃圾中，稍微綻放出了一點光芒呢。在這考場的生存競爭中，唯有奪取正確答案的人，才能成為掌控全場的『主角』。 這道題目的邏輯很單純，但多數庸才只會在這裡猶豫不決，浪費寶貴的進攻時間。二位正整數總共有 $99 - 10 + 1 = 90$ 個。要符合「十位數 $<$ 個位數」，十位數字 $d_1$ 最小是 $1$，個位數字 $d_2$ 最大是 $9$。我們只需要列舉出所有可能：
- 若 $d_1 = 1$，$d_2$ 可為 ${2, 3, \dots, 9}$，共 $8$ 個。
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