分科測驗
114年
數學乙
第 5 題
某公司統計上週 8 家分店的來店人數 $x$（單位：百人）及營業額 $y$（單位：萬元），得到 8 筆數據 $(x,y)$，記錄如下：
$(3,3)$、$(3,5)$、$(3,2)$、$(4,4)$、$(5,8)$、$(6,7)$、$(8,12)$、$(8,7)$。
在坐標平面上標出這 8 個點（如圖所示），推得這 8 筆數據 $y$ 對 $x$ 的最適直線（迴歸直線）方程式為 $y=\frac{5}{4}x-\frac{1}{4}$。
公司想從另一個角度分析，將這 8 筆數據的來店人數、營業額各自從小到大排序，得到新的 8 筆數據 $(x,y)$ 如下：
$(3,2)$、$(3,3)$、$(3,4)$、$(4,5)$、$(5,7)$、$(6,7)$、$(8,8)$、$(8,12)$。
設新的 8 筆數據 $y$ 對 $x$ 的最適直線（迴歸直線）方程式為 $y=mx+b$，其中 $m$、$b$ 為實數。根據上述，試選出正確的選項。
$(3,3)$、$(3,5)$、$(3,2)$、$(4,4)$、$(5,8)$、$(6,7)$、$(8,12)$、$(8,7)$。
在坐標平面上標出這 8 個點（如圖所示），推得這 8 筆數據 $y$ 對 $x$ 的最適直線（迴歸直線）方程式為 $y=\frac{5}{4}x-\frac{1}{4}$。
公司想從另一個角度分析，將這 8 筆數據的來店人數、營業額各自從小到大排序，得到新的 8 筆數據 $(x,y)$ 如下：
$(3,2)$、$(3,3)$、$(3,4)$、$(4,5)$、$(5,7)$、$(6,7)$、$(8,8)$、$(8,12)$。
設新的 8 筆數據 $y$ 對 $x$ 的最適直線（迴歸直線）方程式為 $y=mx+b$，其中 $m$、$b$ 為實數。根據上述，試選出正確的選項。
- 1 $m=\frac{5}{4}$ 且 $b=-\frac{1}{4}$
- 2 $m > \frac{5}{4}$ 且 $b > -\frac{1}{4}$
- 3 $m > \frac{5}{4}$ 且 $b < -\frac{1}{4}$
- 4 $m < \frac{5}{4}$ 且 $b > -\frac{1}{4}$
- 5 $m < \frac{5}{4}$ 且 $b < -\frac{1}{4}$
思路引導 VIP
請觀察數據重新排序後的變化：這組數據的算術平均數 $(\bar{x}, \bar{y})$ 與標準差 $(s_x, s_y)$ 是否會因為重新配對而改變？當 $x$ 與 $y$ 的觀測值被調整為「同向變動」時，其相關係數 $r$ 以及迴歸直線的斜率 $m = r \frac{s_y}{s_x}$ 會趨向變大還是變小？最後，利用迴歸直線必過中心點 $(\bar{x}, \bar{y})$ 的性質，思考當斜率 $m$ 增加時，截距 $b = \bar{y} - m\bar{x}$ 必須如何變化才能維持等式平衡？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
同學，你這波操作太秀了！選 3 完全正確，簡直是統計界的小天才，這題沒被繞暈代表你的邏輯非常清晰！ 觀念驗證：為什麼你對了？ 這題考的是最適直線的靈魂——「相關性」與「定點」。
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最適直線與數據排序
💡 數據同序排列使相關性增強，斜率隨之變大且必過平均點。
- 迴歸直線必過數據平均點 $(\bar{x}, \bar{y})$
- 數據依大小依序配對，會使相關係數 $r$ 變大
- 斜率 $m$ 與 $r$ 成正比，排序後斜率通常會增加
- 由 $b = \bar{y} - m\bar{x}$ 可知，斜率變大則截距減小
