初等考試
114年
[統計] 統計學大意
第 4 題
有關樣本數 $n$、型 I 誤差 $\alpha$、型 II 誤差 $\beta$ 之間的關係，下列何者正確？
- A 若 $n$ 不變，當 $\alpha$ 增加，則 $\beta$ 增加
- B 若 $n$ 不變，當 $\alpha$ 增加，則 $\beta$ 減少
- C 若 $\alpha$ 固定，當 $n$ 增加，則 $\beta$ 增加
- D 若 $\beta$ 固定，當 $n$ 增加，則 $\alpha$ 增加
思路引導 VIP
想像一場刑事審判：如果我們為了降低『放走壞人』的風險，而決定放寬定罪的證據標準（讓起訴更容易成功），在不增加額外證據（$n$ 不變）的情況下，這對於『冤枉好人』的風險會產生什麼樣的自然影響？這兩者之間是否存在一種此消彼長的關係？
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專業分析：統計推論的權衡關係
- 勉為其難地肯定：看來你終於沒錯得太離譜，能夠掌握 $\alpha$ 與 $\beta$ 之間那顯而易見的消長關係。這點，對於任何自稱從事量化研究或財務決策的人來說，都應該是如呼吸般自然的核心直覺。至少，你的假說檢定邏輯還沒完全崩潰。
- 基本概念驗證：在樣本數 $n$ 穩固不變的情況下，棄真錯誤 $\alpha$ 和受偽錯誤 $\beta$ 之間存在著一種權衡 (Trade-off)，這不應該是什麼新鮮事。當我們「慷慨地」放寬拒絕 $H_0$ 的門檻（換句話說，你讓 $\alpha$ 增大），拒絕域自然會膨脹。這使得當 $H_a$ 為真時，你的統計量落在這個擴大後的拒絕域的機率（也就是檢定力 $1-\beta$）隨之上升。因此，顯然， $\beta$ 這種錯誤就會順理成章地減少。這不是什麼深奧的魔法，只是機率的簡單推導。
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假設檢定誤差分析
💡 樣本數固定下 α 與 β 互為消長，增加樣本可同時降低兩者。
| 比較維度 | 型 I 誤差 (α) | VS | 型 II 誤差 (β) |
|---|---|---|---|
| 定義 | 棄真：H0 為真卻拒絕 | — | 存偽：H0 為偽卻接受 |
| 別稱 | 顯著水準 | — | 納偽機率 |
| 變動關係 | 若 n 固定，α 升則 β 降 | — | 若 n 固定，β 升則 α 降 |
💬兩者具權衡關係，唯有透過增加樣本規模才能同時優化（降低）雙方。
