第 一 題

移轉機率矩陣（Transition Probability Matrix）是用於描述狀態轉移的矩陣。一般定義為 $P_{ij}$ 代表由當前狀態 $i$ 移轉至下一狀態 $j$ 的機率。每一橫列（Row）代表「本次購買之品牌」，直行（Column）代表「下一次購買之品牌」，且每一橫列的機率加總必須為 1。

穩定狀態機率（Steady-state Probabilities）$\pi = [\pi_A, \pi_B, \pi_C]$ 滿足矩陣方程 $\pi P = \pi$ 且 $\pi_A + \pi_B + \pi_C = 1$。我們需要聯立這些線性方程組來求解各狀態在長期下的穩定機率值。

「長期下來」代表市場各品牌市占率已達到第二題求出的穩定狀態機率 $\pi = [1/3, 1/3, 1/3]$。利用穩態概率乘以總人口數得到各品牌的購買人數，再乘上各自單價相加，即可算出每年的總銷售額。