地特三等申論題
114年
[電信工程] 通信與系統
第 一 題
📖 題組：
頻率調變（Frequency modulation, FM）訊號的解調可透過鑒頻器（Frequency Discriminator）達成，鑒頻器包括了斜率電路（Slope Circuit）及包絡檢波器（Envelop Detector）。斜率電路（Slope Circuit）的頻率響應如下： $$H(f) = \begin{cases} j2\pi(f - f_c + \frac{B_T}{2}), & f_c - \frac{B_T}{2} \le f \le f_c + \frac{B_T}{2} \\ j2\pi(f + f_c - \frac{B_T}{2}), & -f_c - \frac{B_T}{2} \le f \le -f_c + \frac{B_T}{2} \\ 0, & elsewhere \end{cases}$$ 其中 $f_c$ 為載波頻率及 $B_T$ 為斜率電路運作頻寬，請回答下列問題：
頻率調變（Frequency modulation, FM）訊號的解調可透過鑒頻器（Frequency Discriminator）達成，鑒頻器包括了斜率電路（Slope Circuit）及包絡檢波器（Envelop Detector）。斜率電路（Slope Circuit）的頻率響應如下： $$H(f) = \begin{cases} j2\pi(f - f_c + \frac{B_T}{2}), & f_c - \frac{B_T}{2} \le f \le f_c + \frac{B_T}{2} \\ j2\pi(f + f_c - \frac{B_T}{2}), & -f_c - \frac{B_T}{2} \le f \le -f_c + \frac{B_T}{2} \\ 0, & elsewhere \end{cases}$$ 其中 $f_c$ 為載波頻率及 $B_T$ 為斜率電路運作頻寬，請回答下列問題：
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
令 $h(t) = Re\{\tilde{h}(t) \exp(2\pi f_ct)\}$ 為斜率電路的脈衝響應，且 $\tilde{h}(t)$ 為 $h(t)$ 的低通等效（Lowpass Equivalent）響應，請畫出 $\tilde{h}(t)$ 之頻率響應 $\tilde{H}(f)$ 並寫出其數學表示式。（10 分）
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首先需留意題目公式中的 exp(2\pi f_ct) 為常見的考卷漏字，標準表示法應有虛數單位 j，即 exp(j2\pi f_ct)。帶通訊號與其低通等效的關係在頻域為：對於 $f > 0$ 的部分平移回基頻並乘上 2 (視定義而定)。由題意展開可推得 $\tilde{H}(f)$。由於方程式具有純虛數性質，繪圖時只需要畫出其虛部與頻率的線性關係即可。
小題 (二)
令 $s(t) = Re\{\tilde{s}(t) \exp(2\pi f_c t)\}$ 和 $y(t) = Re\{\tilde{y}(t) \exp(2\pi f_c t)\}$ 分別為斜率電路的帶通（passband）輸入及輸出訊號，而 $\tilde{s}(t)$ 和 $\tilde{y}(t)$ 分別為 $s(t)$ 和 $y(t)$ 的低通等效訊號，證明 $\tilde{s}(t)$ 和 $\tilde{y}(t)$ 的關係滿足下式：（10 分）
$\tilde{y}(t) = \frac{d\tilde{s}(t)}{dt} + j\pi B_T \tilde{s}(t)$
$\tilde{y}(t) = \frac{d\tilde{s}(t)}{dt} + j\pi B_T \tilde{s}(t)$
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這是一題標準的帶通系統卷積定理推導。當兩個帶通訊號（輸入與脈衝響應）進行卷積時，其低通等效訊號在頻域相乘時必須乘上 1/2（即 $\tilde{Y}(f) = \frac{1}{2} \tilde{H}(f)\tilde{S}(f)$）。套入 (一) 算出的 $\tilde{H}(f)$，將其展開後，再利用傅立葉轉換的微分性質 $\frac{d}{dt} \leftrightarrow j2\pi f$ 反推回時域，即可得證。
小題 (三)
若 $s(t)$ 為 FM 訊號 $s(t) = A_c \cos \left[ 2\pi f_c t + 2\pi k_f \int_0^t m(\tau)d\tau \right]$
推導輸出訊號 $y(t)$，並說明訊息訊號 $m(t)$ 如何透過斜率電路和包絡檢波器解調。（10 分）
推導輸出訊號 $y(t)$，並說明訊息訊號 $m(t)$ 如何透過斜率電路和包絡檢波器解調。（10 分）
思路引導 VIP
解此題需先將 $s(t)$ 寫成低通等效表示法 $\tilde{s}(t) = A_c \exp(j2\pi k_f \int m(\tau)d\tau)$。將其代入(二)證明的公式算出 $\tilde{y}(t)$。斜率電路本質上是做微分，將 FM 轉成了 AM（振幅包含訊息），包絡檢波器再取其絕對值。說明時必須點出包絡取完絕對值後會產生一個直流成分（DC），需透過電容器隔絕濾除，方能完美還原 $m(t)$。