普考申論題
114年
[測量製圖] 誤差理論概要
第 一 題
一、已知a = 2x + 3y + 1、b = 5x - 6y - 1，並已知σx = ±0.3、σy = ±0.1，且 x 與 y 無相關，則 a 以及 b 之標準差以及相關係數各為何？（25 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
看到此題應先想到「協方差傳播定律（誤差傳播定律）」。利用觀測量與未知數的線性函數關係，求得各變數的偏微分後，分別代入公式求得變異數與共變異數，最後運用相關係數定義公式求解。
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【解題關鍵】運用協方差傳播定律（誤差傳播定律）計算出變異數與共變異數，再代入相關係數公式（$\rho_{ab} = \frac{\sigma_{ab}}{\sigma_a \sigma_b}$）求解。 【解答】 計算：
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誤差傳播定律與相關係數
💡 利用偏微分與協方差傳播定律求算函數之變異數與相關性。
🔗 誤差傳播解題四部曲
- 1 偏微求權 — 對函數 a、b 各別針對 x、y 進行偏微分。
- 2 求變異數 — 套用公式計算 σa² 與 σb² 並開根號求標準差。
- 3 計算共變 — 計算函數間的協方差 σab，注意係數正負號。
- 4 求相關數 — 將 σab 除以 (σa × σb) 得到相關係數。
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🔄 延伸學習：延伸：若函數為非線性，需先進行泰勒展開式線性化後方可計算。
