高考申論題
114年
[天文] 天文觀測
第 一 題
📖 題組：
原恆星多深藏於分子雲的緻密核（dense core）內，無法直接觀測到。但其四周雲氣中的塵埃會吸收原恆星輻射的光，受熱後再輻射，所以觀測時可見的塵埃熱輻射，溫度可達 100 K，近似於黑體輻射。 提示：普朗克函數 B_ν(T) = (2hν^3 / c^2) * (1 / (e^{hν/kT}-1))，其中普朗克常數 h = 6.63 × 10^{-27} erg s，波茲曼常數 k = 1.38 × 10^{-16} erg K^{-1}，史蒂芬波茲曼常數 σ = 5.67 × 10^{-5} erg s^{-1} cm^{-2} K^{-4}。
原恆星多深藏於分子雲的緻密核（dense core）內，無法直接觀測到。但其四周雲氣中的塵埃會吸收原恆星輻射的光，受熱後再輻射，所以觀測時可見的塵埃熱輻射，溫度可達 100 K，近似於黑體輻射。 提示：普朗克函數 B_ν(T) = (2hν^3 / c^2) * (1 / (e^{hν/kT}-1))，其中普朗克常數 h = 6.63 × 10^{-27} erg s，波茲曼常數 k = 1.38 × 10^{-16} erg K^{-1}，史蒂芬波茲曼常數 σ = 5.67 × 10^{-5} erg s^{-1} cm^{-2} K^{-4}。
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
請問該輻射峰值發生在什麼波段？（函數x=3(1-e^{-x})的解為x=2.82）（10 分）
思路引導 VIP
看到此題，應意識到這是維恩位移定律在「頻率空間」的推導。需將給定的頻率版普朗克函數對頻率微分並令其為零以求取極值，從而導出題目提示的超越方程式。求出峰值頻率後，再換算為波長，即可準確判定所屬的電磁波段（注意：頻率空間與波長空間推導出的峰值波長會有所不同，必須嚴格遵循題意計算）。
小題 (二)
若觀測一個緻密核發出的塵埃熱輻射，大小約為(40 ± 0.5)arcsec，溫度為100 ± 10 K，已知距離在(500 ± 25)秒差距，試估計其連續譜輻射流量（flux）的大小與誤差。（20 分）
思路引導 VIP
解題首先需確認目標的連續譜熱輻射可視為黑體輻射，利用斯特凡-波茲曼定律與角直徑求出『觀測輻射流量（Observed Flux）』。此過程應敏銳察覺『距離』在此是計算光度才需要的冗餘資訊（Distractor）。最後需運用標準的誤差傳遞公式（連乘積的相對誤差平方和），將溫度與角直徑的相對誤差合成出總誤差。
恆星熱輻射與流量計算
💡 運用黑體輻射定律推導輻射峰值，並結合誤差傳遞估算天體流量。
🔗 輻射流量與誤差估算邏輯鏈
- 1 物理性質判定 — 確認為黑體輻射並選定溫度 T=100K。
- 2 特徵波段定位 — 經由維恩定律求得輻射峰值位於遠紅外線區域。
- 3 通量模型建立 — 結合角直徑與史蒂芬波茲曼常數計算總流量。
- 4 誤差合成計算 — 對溫度、距離與大小之誤差進行非線性傳遞運算。
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🔄 延伸學習：延伸學習：了解不同波段（如無線電、紅外線）熱輻射塵埃的消光效應。
