高考申論題
114年
[工業工程] 工程統計學與品質管制
第 二 題
二、資料是常態分配且已知變異數 σ^2，考慮以下假設檢定：
H0 : μ = μ0
H1 : μ ≠ μ0
在型 I 誤差為 α，推導出一公式來計算當真實平均值為 μ1，（設 μ1 ＝ μ0 ＋ δ，δ > 0）與型 II 誤差為 β 的條件下所需要的樣本數量為何？（20 分）
H0 : μ = μ0
H1 : μ ≠ μ0
在型 I 誤差為 α，推導出一公式來計算當真實平均值為 μ1，（設 μ1 ＝ μ0 ＋ δ，δ > 0）與型 II 誤差為 β 的條件下所需要的樣本數量為何？（20 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
遇到假設檢定的樣本數推導題，第一步先依據型一誤差 α 定義出接受域（Acceptance Region）；第二步將型二誤差 β 定義為「在對立假設成立時，檢定統計量落入接受域的機率」。由於 μ1 > μ0，標準化後左側邊界的機率值極小可忽略，透過標準常態分配反查分位數即可移項解出 n。
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【解題思路】利用標準常態分配性質，從型一誤差 α 建構接受域，再代入真實平均數 μ1 條件計算型二誤差 β 機率，經由標準化轉換反推樣本數 n。 【詳解】 已知：
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樣本數決定公式推導
💡 利用型一與型二誤差的定義，透過標準化轉換推導樣本數公式。
🔗 樣本數 n 之推導程序
- 1 界定接受域 — 依 H0 與 α 找出臨界點為 μ0 ± Z(α/2)*σ/√n
- 2 代入型二誤差 — 設定機率 β 等於檢定值落在接受域且 μ = μ1
- 3 標準化變數 — 將臨界點轉換為 Z 分數，代入 δ = μ1 - μ0
- 4 代數移項 — 利用 Z(β) 關係式分離出 √n 並進行平方求解
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🔄 延伸學習：延伸學習：當 σ 未知時，需改用 t 分配並透過疊代法求近似樣本數。
