地特三等申論題
114年
[工業工程] 工程統計學與品質管制
第 四 題
四、某國內家具製造商從海外供應商購買一批原料，並對其進行抽樣，以確定其甲醛釋放量是否合乎規格。若平均釋出量低於 3 ppm，此批即判定為合格。已知釋放量標準差為 1 ppm。當平均釋出量為 3 ppm 的批次有 0.95 的機率被接受（Z_{0.95} = 1.645），而平均釋出量為 4 ppm 的批次有 0.10 的機率被接受（Z_{0.1} = -1.282）。請設計一個變數抽樣計畫所需要的樣本有多少？（25 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
看到「變數抽樣計畫」、「樣本平均數」與「兩種接收機率（生產者風險與消費者風險）」，應立即想到利用樣本平均數的抽樣分配建立聯立方程式。設定接收臨界值 c 與樣本數 n，將給定的兩種平均數狀態（μ1, μ2）與對應的 Z 值代入常態機率公式中，解聯立方程式即可求出樣本數 n，最後記得樣本數須無條件進位取整數。
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【解題關鍵】利用樣本平均數的抽樣分配 $\bar{X} \sim N(\mu, \sigma^2/n)$，並根據給定的兩組品質水準與接收機率建立聯立方程式求解樣本數 $n$。 【解答】 Step 1：定義機率變數與分配
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變數抽樣樣本數計算
💡 透過常態分配標準化建立聯立方程，求解樣本數並無條件進位。
🔗 變數抽樣計畫設計步驟
- 1 模型設定 — 設定平均數之抽樣分配為 $N(\mu, \sigma^2/n)$
- 2 標準化方程 — 依題意機率與 Z 值建立兩組標準化算式
- 3 代數求解 — 利用聯立方程消去臨界值並解出 $n$
- 4 取整進位 — 樣本數 $n$ 採無條件進位以嚴格符合風險限制
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🔄 延伸學習：延伸學習：樣本數 $n$ 越大，OC 曲線越陡峭，辨別力越高。
