高考申論題
114年
[電信工程] 通信與系統
第 三 題
📖 題組：
頻率調變（Frequency modulation, FM）訊號的解調可透過鑒頻器（Frequency Discriminator）達成，鑒頻器包括了斜率電路（Slope Circuit）及包絡檢波器（Envelop Detector）。斜率電路（Slope Circuit）的頻率響應如下： $$H(f) = \begin{cases} j2\pi(f - f_c + \frac{B_T}{2}), & f_c - \frac{B_T}{2} \le f \le f_c + \frac{B_T}{2} \\ j2\pi(f + f_c - \frac{B_T}{2}), & -f_c - \frac{B_T}{2} \le f \le -f_c + \frac{B_T}{2} \\ 0, & \text{elsewhere} \end{cases}$$ 其中 $f_c$ 為載波頻率及 $B_T$ 為斜率電路運作頻寬，請回答下列問題：
頻率調變（Frequency modulation, FM）訊號的解調可透過鑒頻器（Frequency Discriminator）達成，鑒頻器包括了斜率電路（Slope Circuit）及包絡檢波器（Envelop Detector）。斜率電路（Slope Circuit）的頻率響應如下： $$H(f) = \begin{cases} j2\pi(f - f_c + \frac{B_T}{2}), & f_c - \frac{B_T}{2} \le f \le f_c + \frac{B_T}{2} \\ j2\pi(f + f_c - \frac{B_T}{2}), & -f_c - \frac{B_T}{2} \le f \le -f_c + \frac{B_T}{2} \\ 0, & \text{elsewhere} \end{cases}$$ 其中 $f_c$ 為載波頻率及 $B_T$ 為斜率電路運作頻寬，請回答下列問題：
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (三)
若 $s(t)$ 為 FM 訊號 $s(t) = A_c \cos[2\pi f_c t + 2\pi k_f \int_{0}^{t} m(\tau) d\tau]$，推導輸出訊號 $y(t)$，並說明訊息訊號 $m(t)$ 如何透過斜率電路和包絡檢波器解調。（10 分）
思路引導 VIP
遇到 FM 解調與斜率電路（Slope Circuit）的題目，首要任務是運用帶通訊號的「等效基頻分析法」，將斜率電路的頻域響應平移至基頻。接著利用傅立葉轉換的微分性質反轉回時域，以證明頻率變化被轉換為振幅變化（FM-to-AM）。最後說明由包絡檢波器提取包絡並扣除直流成分，即可完美解調出訊息。
小題 (一)
如果輸出訊號為 y(t) = Acos(2πf_0t)，A 為常數，請求輸入訊號 x(t)以及 t_0。（10 分）
思路引導 VIP
本題測驗 LTI 系統中的時間延遲（Time Delay）特性與傅立葉級數的對應關係。解題時應先將輸出的級數型態化簡，辨識出 y(t) = x(t - t_0) 的時移物理意義。接著將已知的 y(t) 透過歐拉公式展開，反推傅立葉係數 X_n，最後重組得出 x(t) 的表示式並說明 t_0 的系統意義。
小題 (二)
如果輸入訊號 x(t) = Acos(2πf_0t) + Asin(2πf_0t)，請求輸出訊號 y(t)。（5 分）
思路引導 VIP
看到這題，首先觀察題目給的 LTI 系統輸入與輸出的數學關係，利用指數律整理後可發現 y(t) = x(t-t_0)，本質上這是一個純時間延遲系統。解題時，最嚴謹的做法是利用尤拉公式將輸入訊號展開成複數指數傅立葉級數代入定義式推導；亦可直接點出時間延遲的物理特性來作答。
FM 鑒頻器解調原理
💡 利用斜率電路將頻率變化轉換為振幅變化，再透過包絡檢波還原訊息。
🔗 FM 鑒頻器解調因果鏈
- 1 FM 訊號輸入 — 恆定振幅，頻率隨 m(t) 變化
- 2 斜率電路微分 — 頻率變動轉化為振幅變動 (AM-FM)
- 3 包絡檢波 — 提取波形振幅，消除高頻載波項
- 4 直流濾除 — 去除偏壓，還原原始訊息 m(t)
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🔄 延伸學習：延伸學習：分析斜率電路的線性區間與失真率的關係
