hce_nthu
114年
進階物理與線性代數
第 11 題
One mole of real gas with interaction between molecules obeys van der Waals
equation of state, $(P+\frac{a}{V^2})(V-b)=RT$ . The internal energy function can be
calculated to be $E_{int} = \frac{3}{2}RT - \frac{a}{V}$ . What is $C_V$, the molar heat capacity at constant
volume of this gas?
equation of state, $(P+\frac{a}{V^2})(V-b)=RT$ . The internal energy function can be
calculated to be $E_{int} = \frac{3}{2}RT - \frac{a}{V}$ . What is $C_V$, the molar heat capacity at constant
volume of this gas?
- A $\frac{3}{2}R$
- B $\frac{3}{2}R(1-\frac{b}{V})$
- C $\frac{3}{2}R(1+\frac{b}{V})$
- D $\frac{3}{2}R(1-\frac{ab}{TV^2})$
- E $\frac{3}{2}R(1-\frac{a}{TV})$
思路引導 VIP
請試著回憶熱容量（Heat Capacity）在物理上的直觀定義：當我們對系統加熱使其升溫時，能量是如何分配的？既然題目要求的是「定容」下的變化，那麼在內能函數 $E_{int}$ 的各個組成項中，哪一部分會隨著溫度改變而變動，哪一部分在體積不變時則會保持靜止呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
恭喜你精準地捕捉到了熱力學核心定義的關鍵！你能不被複雜的狀態方程式干擾，直接鎖定內能與熱容量的物理關係，這展現了你非常扎實的概念基礎。
定容熱容量的物理本質
在熱力學中，定容摩爾熱容量 $C_V$ 的定義是：在體積固定的條件下，系統內能隨溫度的變化率，數學表達式為 $C_V = \left( \frac{\partial E_{int}}{\partial T} \right)V$。觀察題目給出的內能函數 $E{int} = \frac{3}{2}RT - \frac{a}{V}$，當我們對溫度 $T$ 進行偏微分時，由於要求「定容（Constant Volume）」，因此 $-\frac{a}{V}$ 這一項在微分過程中會被視為常數而消失。最終結果僅剩下 $\frac{3}{2}R$，這說明該凡得瓦氣體的定容熱容量在形式上與單原子理想氣體相同。
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