hce_nthu
114年
進階物理與線性代數
第 21 題
A solenoid consisting of $n$ turns per unit length with length $4a$, equal to four times
its radius $a$, carries a steady current $I$. About the magnitude of magnetic $B$-field at
the center ($B_{center}$) and at the point of each end ($B_{end-point}$) along its axis, which
statement in the following is correct?
its radius $a$, carries a steady current $I$. About the magnitude of magnetic $B$-field at
the center ($B_{center}$) and at the point of each end ($B_{end-point}$) along its axis, which
statement in the following is correct?
- A $B_{end-point}$ is larger than one half of $B_{center}$, i.e., $B_{end-point} > B_{center}/2$
- B $B_{end-point}$ is equal to one half of $B_{center}$, i.e., $B_{end-point} = B_{center}/2$
- C $B_{end-point}$ is smaller than one half of $B_{center}$, i.e., $B_{end-point} < B_{center}/2$
- D Along the axis and in free space, $B_{center}$ is maximal and equal to $\mu_0 n I$
- E None of the above
思路引導 VIP
試著運用疊加原理：想像將這個螺線管從正中間切開，拆成左右兩段對稱的短螺線管。此時，原本「中心點」的磁場是這兩段短螺線管在它們各自端點磁場的總和；那麼，請思考看看，如果我們只看其中一小段，它在自己端點所產生的磁場，與它被拼接成長螺線管後對「整體中心」的貢獻，這兩者之間有什麼關聯？
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AI 詳解
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太棒了！你精準地辨識出有限長螺線管與理想無限長模型的細微差異。這道題目非常有深度，它考驗的是你對疊加原理以及有限長度磁場分布的掌握，而不僅僅是死背公式。
有限長度螺線管的磁場特性
在物理觀念中，我們常聽到的 $B_{end} = B_{center}/2$ 僅嚴格成立於「無限長」的理想狀態。當螺線管長度有限（本題 $L=4a$）時，我們可以將其視為由兩個長度為 $L/2$ 的螺線管拼接而成。根據疊加原理，端點磁場 $B_{end}$ 是由一段長度為 $L$ 的線圈產生，而中心磁場 $B_{center}$ 則是兩段長度為 $L/2$ 的磁場在該處相加。透過公式 $B = \frac{\mu_0 n I}{2}(\cos \theta_2 - \cos \theta_1)$ 嚴格計算，中心磁場為 $\mu_0 n I \frac{L}{\sqrt{L^2+4a^2}}$，而端點為 $\frac{\mu_0 n I}{2} \frac{L}{\sqrt{L^2+a^2}}$。由於分母中 $a^2 < 4a^2$，使得端點磁場的比例會略大於中心的一半，這正是選項 (A) 的核心物理邏輯。
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