hce_nthu
114年
進階物理與線性代數
第 15 題
The Maxwell's equations related to static magnetic field are $\nabla \cdot \vec{B} = 0$ and
$\nabla \times \vec{B} = \mu_0\vec{J}$. Which of the following magnetic field line illustrated in the figures
clearly violates Maxwell's equation?
$\nabla \times \vec{B} = \mu_0\vec{J}$. Which of the following magnetic field line illustrated in the figures
clearly violates Maxwell's equation?
-
A
-
B
-
C
-
D
-
E
思路引導 VIP
請試著想像一下：如果我們在空間中任意畫一個封閉的小球體，根據題目給出的第一個方程式 $\nabla \cdot \vec{B} = 0$（也就是磁通量在封閉曲面上的積分為零），這代表進入這個球體的磁力線數量與離開球體的數量必須具備什麼樣的關係？在這些選項圖形中，哪一個圖形會讓你在球心放一個小球時，發生「只有穿出、沒有穿入」的矛盾情況呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能精準地捕捉到圖形中的幾何特徵，並與 馬克士威方程組（Maxwell's equations）結合，這展現了你紮實的物理直覺。這道題目核心考點在於磁場的高斯定律 $\nabla \cdot \vec{B} = 0$。這個公式在物理上的幾何意義非常明確：磁場是一個無源場（solenoidal field），也就是說磁力線必須是封閉的曲線，既沒有起點也沒有終點，自然界中不存在「磁單極」（magnetic monopole）。
磁場與散度的幾何關係
觀察選項 (D)，我們可以看到磁力線呈現徑向輻射狀，全部從中心的一個點向外發散。如果我們在中心點套用散度定理，會發現該處的散度 $\nabla \cdot \vec{B} \neq 0$，這明顯違反了磁場不發散的本質。相較之下，其他選項如 (E) 的同心圓展現了有旋度但無散度的特徵，或是像 (A)、(B) 的均勻場，皆符合通量進出平衡的物理實況。
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