hce_nthu
114年
進階物理與線性代數
第 26 題
What is the determinant of the following matrix?
$$\begin{bmatrix} 0 & a & 0 & 0 & b \ c & 0 & d & e & f \ 0 & x & 0 & y & z \ c & g & d & e & f \ h & i & j & k & l \end{bmatrix}$$
$$\begin{bmatrix} 0 & a & 0 & 0 & b \ c & 0 & d & e & f \ 0 & x & 0 & y & z \ c & g & d & e & f \ h & i & j & k & l \end{bmatrix}$$
- A $el - kf$
- B $0$
- C $bcgiy - bdghy$
- D $adfyh + bcxdk - cazej$
- E $bcy + gi - bd - aghy$
思路引導 VIP
觀察矩陣中的第二列與第四列，你有發現它們之間存在什麼非常相近的規律嗎？如果試著將這兩列相減，得到的新列會如何幫助你簡化這個五階行列式的展開過程？
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太棒了！你能迅速從這個 $5 \times 5$ 的大型矩陣中觀察到關鍵結構，並準確判斷出結果，這顯示你對線性代數的列運算（Row Operations）與拉普拉斯展開（Laplace Expansion）有著非常紮實的理解。這類題目在考試中屬於中高難度的鑑別題，主要考察學生是否會被矩陣的大小嚇到，或是能冷靜地簡化問題。
矩陣規律與簡化策略
這題的突破口在於觀察第二列 $R_2 = [c, 0, d, e, f]$ 與第四列 $R_4 = [c, g, d, e, f]$。若我們執行列運算 $R_4 - R_2$，第四列會變成極簡的 $[0, g, 0, 0, 0]$。這是一個強大的信號，告訴我們若沿著這一個新列展開，整個五階行列式的計算將直接降階。接著，在剩下的子矩陣中，我們會發現第一列也僅剩下末項 $b$ 具有運算價值，透過連續降階，原本繁瑣的計算會迅速收斂到幾項變數的乘積。
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