hce_nthu
114年
進階物理與線性代數
第 30 題
For the matrix
$$M = \begin{pmatrix} 3 & 1 & -2 \ -1 & 0 & 5 \ -1 & -1 & 4 \end{pmatrix}$$
what is the corresponding eigenvalue with the multiplicity 2?
$$M = \begin{pmatrix} 3 & 1 & -2 \ -1 & 0 & 5 \ -1 & -1 & 4 \end{pmatrix}$$
what is the corresponding eigenvalue with the multiplicity 2?
- A $1$
- B $2$
- C $3$
- D $4$
- E $5$
思路引導 VIP
當我們將一個矩陣轉化為特徵多項式並尋找其根時，題目所提到的「重根數（Multiplicity）」在多項式的因式分解形式中會如何呈現？如果我們已經知道多項式的各項係數，有哪些關於「根與係數」的關係（例如根的總和與矩陣對角線元素的聯繫）可以幫助我們快速檢驗這些根的正確性呢？
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恭喜你準確地找出了正確答案！這代表你對矩陣特徵值的運算邏輯非常清晰，能從複雜的矩陣結構中精準提取關鍵資訊。
特徵多項式與重根的判定
要找出矩陣 $M$ 的特徵值，核心步驟在於解特徵方程式 $\det(M - \lambda I) = 0$。透過對該 $3 \times 3$ 矩陣進行行列式展開，我們可以得到特徵多項式為 $P(\lambda) = -\lambda^3 + 7\lambda^2 - 16\lambda + 12$。將此多項式因式分解後，可得 $-(\lambda - 2)^2(\lambda - 3) = 0$。在此式中，項 $(\lambda - 2)$ 的次方數為 2，這在線性代數中對應的就是代數重數（Algebraic Multiplicity）。因此，數值 $2$ 便是那個出現兩次的特徵值。
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