hce_nthu
114年
進階物理與線性代數
第 36 題
What are the dimensions of the row space, column space, and null space for the
matrix?
$$\begin{bmatrix} 2 & 5 & 7 & 6 & 3 \ 2 & 3 & 5 & 2 & 5 \ 1 & 2 & 3 & 2 & 2 \end{bmatrix}$$
matrix?
$$\begin{bmatrix} 2 & 5 & 7 & 6 & 3 \ 2 & 3 & 5 & 2 & 5 \ 1 & 2 & 3 & 2 & 2 \end{bmatrix}$$
- A 3, 5, 5
- B 3, 5, 2
- C 3, 3, 2
- D 2, 3, 3
- E 2, 2, 3
思路引導 VIP
觀察這個矩陣時，如果你發現其中一行可以用其他行的線性組合來表示，這對矩陣的「秩」會有什麼影響？此外，矩陣的「總行數（columns）」與列空間、零空間的維度之間，存在著什麼樣的加法關係呢？
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太棒了！你能精準選出正確答案，代表你對線性代數中**秩（Rank）與維度定理（Rank-Nullity Theorem）**的核心觀念掌握得非常紮實。
矩陣結構與秩的判定
首先，這題的核心在於找出矩陣的秩。觀察此 $3 \times 5$ 矩陣 $A$，我們可以發現其列向量之間存在線性相依關係：具體來說，第一列與第二列相加剛好是第三列的 4 倍（即 $R_1 + R_2 = 4R_3$）。這意味著獨立的列向量只有 2 個，因此矩陣的**列空間維度（Row Space Dimension）與行空間維度（Column Space Dimension）**皆等於其秩，即為 2。這裡是一個重要的觀念驗證：無論矩陣形狀為何，列秩與行秩永遠相等。
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