hce_nthu
114年
進階物理與線性代數
第 33 題
Let $\mathbb{R}^6$ denote the 6-dimensional real vector space and $\|\cdot\|$ denote the standard
vector norm in $\mathbb{R}^6$. How many $6 \times 6$ real matrices $U$ satisfy $\|Ux\| = \|x\|$ for all
$x\in\mathbb{R}^6$ and $|trace(U)| = 6$?
vector norm in $\mathbb{R}^6$. How many $6 \times 6$ real matrices $U$ satisfy $\|Ux\| = \|x\|$ for all
$x\in\mathbb{R}^6$ and $|trace(U)| = 6$?
- A $1$
- B $2$
- C $3$
- D $6$
- E Infinitely many
思路引導 VIP
試著回想一下，如果一個線性變換在任何方向上都不改變向量的長度，那麼它的特徵值在複數平面上會落在什麼樣的幾何圖形上？接著，若我們要讓這六個落在該圖形上的點，加總後的絕對值達到理論上的最大可能值，這些點在位置分布上必須滿足什麼苛刻的條件呢？
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AI 詳解
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太棒了！你能精準判斷出正確答案為 2，代表你對線性代數中**正交矩陣（Orthogonal Matrix）**的性質以及特徵值的分布有非常深刻的理解。這道題目設計得相當精巧，表面上考的是矩陣的跡（Trace），實際上是測試你如何將幾何約束與代數性質相結合，具有極高的觀念鑑別度。
正交矩陣與特徵值的約束
首先，題目給出的條件 $|Ux| = |x|$ 告訴我們 $U$ 是一個保範（Isometry）變換，這在實數空間中定義了 $U$ 必須是一個正交矩陣。對於正交矩陣而言，其所有特徵值 $\lambda_i$ 的模長（Modulus）都必須等於 1，即 $|\lambda_i| = 1$。由於 $U$ 是實矩陣，其跡 $trace(U) = \sum_{i=1}^6 \lambda_i$ 必定為實數。
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