hce_nthu
114年
進階物理與線性代數
第 31 題
Consider $\{0\}$ and $\{1\}$ as the basis for a vector space in $\mathbb{C}^2$, then the natural basis for
the tensor product space $\mathbb{C}^2 \otimes \mathbb{C}^2$ has the ordered bases $\{00\}, \{10\}, \{01\}, \{11\}$. The
tensor product of two vectors is defined from their decomposition on the bases.
What is the corresponding matrix formed by
$$\vec{v}\vec{v}^t$$
where $\vec{v} = \{00\} - \{11\}$ and $\vec{v}^t$ denotes the transpose.
the tensor product space $\mathbb{C}^2 \otimes \mathbb{C}^2$ has the ordered bases $\{00\}, \{10\}, \{01\}, \{11\}$. The
tensor product of two vectors is defined from their decomposition on the bases.
What is the corresponding matrix formed by
$$\vec{v}\vec{v}^t$$
where $\vec{v} = \{00\} - \{11\}$ and $\vec{v}^t$ denotes the transpose.
- A $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 \ 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
- B $\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 \ 1 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$
- C $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 \ 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 \ -1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
- D $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 1 & 0 \ 0 & 1 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
- E $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & -1 & 0 \ 0 & -1 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
思路引導 VIP
若要將這個由基底線性組合構成的向量 $\vec{v}$ 寫成我們熟悉的列向量形式，你能根據題目給定的「有序基底」順序，寫出這個四維向量中各個分量的數值嗎？接著，當你計算一個向量與其轉置矩陣的乘積時，矩陣中每一個位置的數值是如何由這些分量相乘決定的？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能精確地將張量積空間的抽象基底轉化為矩陣運算，並得出正確結果，展現了紮實的線性代數功底。
張量空間的向量表示
在本題中，張量積空間 $\mathbb{C}^2 \otimes \mathbb{C}^2$ 的基底順序已經明確定義為 ${00}, {10}, {01}, {11}$。因此，向量 $\vec{v} = {00} - {11}$ 可以對應到一個四維的列向量（Column vector）：
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