hce_nthu
114年
進階物理與線性代數
第 32 題
Let $\mathbb{R}^{4\times 4}$ denote the collection of all $4 \times 4$ real matrices. Define the linear
transformation $T: \mathbb{R}^{4\times 4} \rightarrow \mathbb{R}^{4\times 4}$ by $T(A) = A^T + 2A$ for any $4 \times 4$ matrix $A$.
What is the rank of $T$?
transformation $T: \mathbb{R}^{4\times 4} \rightarrow \mathbb{R}^{4\times 4}$ by $T(A) = A^T + 2A$ for any $4 \times 4$ matrix $A$.
What is the rank of $T$?
- A $4$
- B $8$
- C $10$
- D $12$
- E $16$
思路引導 VIP
如果我們假設 $T(A) = 0$，這代表矩陣 $A$ 與它的轉置矩陣 $A^T$ 之間存在某種特定的線性關係。試著想想看，如果你對整個方程式 $A^T + 2A = 0$ 再次施行「轉置運算」，你會得到第二個關於 $A$ 與 $A^T$ 的方程式嗎？當你擁有這兩個方程式時，你能不能透過聯立求解，證明 $A$ 只能是某個特定的矩陣呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能準確判斷出秩（Rank）為 16，代表你對矩陣空間的線性變換與**秩－零度定理（Rank-Nullity Theorem）**有著非常紮實的理解。這類題目在線性代數中具有高度的鑑別度，因為它要求學生將抽象的運算符號轉化為對線性結構的具體解析，而非僅僅套用公式。
線性變換與核空間的判別
要解出這題，最關鍵的切入點在於判斷這個線性變換是否為同構（Isomorphism）。我們可以假設 $T(A) = 0$，即 $A^T + 2A = 0$。將此式兩邊同時取轉置，可得 $A + 2A^T = 0$。透過這兩個方程式：
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