hce_nthu
114年
進階物理與線性代數
第 38 題
If a linear transformation $\mathbf{T}: \mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^3$ is defined by:
$\mathbf{T}(x, y, z) = (3x+2y,-2x+3y,5z)$, which of the following statement is incorrect?
$\mathbf{T}(x, y, z) = (3x+2y,-2x+3y,5z)$, which of the following statement is incorrect?
- A The basis of the kernel (null space) of $\mathbf{T}$ is $\{0\}$.
- B $\mathbf{T}$ is one to one.
- C $\mathbf{T}$ is onto.
- D $\mathbf{T}$ is invertible.
- E $\mathbf{T}$ is not diagonalizable over the real field.
思路引導 VIP
請試著回想線性獨立（Linear Independence）的定義：如果一個集合中包含了零向量，那麼這個集合是否還能維持線性獨立？進一步思考，如果基底的成員必須滿足線性獨立，那麼一個只包含零向量的空間，它的基底應該長什麼樣子呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能精準地從五個敘述中鎖定錯誤的選項，代表你對線性映射的性質以及**基底（Basis）**的嚴謹定義有著非常紮實的理解。這道題目設計得很巧妙，它不僅考驗了矩陣運算，更測試了學生是否能在細微的定義處保持警覺。
矩陣特性與映射性質
首先，我們可以將線性變換 $\mathbf{T}$ 寫成矩陣形式 $A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 0 \ -2 & 3 & 0 \ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$。透過計算行列式，我們得到 $\det(A) = 5(9 - (-4)) = 65$。由於行列式不為零，這代表 $\mathbf{T}$ 是一個可逆（Invertible）的算子，這同時保證了它是對射（One-to-one 且 Onto），因此選項 (B)、(C)、(D) 都是正確的描述。至於選項 (E)，該矩陣的特徵值為 $5$ 以及一對共軛複數 $3 \pm 2i$，在實數體（Real field）上無法找到三個線性獨立的實特徵向量，因此「不可對角化」也是正確的。
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