hce_nthu
114年
進階物理與線性代數
第 37 題
A linear equation system $Ax=b$ consists of $m$ linear equations with $n$ variables.
Which of the following statements is correct?
Which of the following statements is correct?
- A We can apply elementary column operations to solve this linear equation system.
- B If $A$ and $B$ matrices are similar, then $Ax=b$ and $Bx=b$ have the same solution set.
- C If this linear equation system has solutions, the solutions form a subspace.
- D If $m\neq n$ and $\text{rank}(A) = m$, then there exist infinite solutions.
- E If $m\neq n$, we can use "Cramer's rule" to find its solution.
思路引導 VIP
請試著思考：如果我們擁有的「變數數量」多於「相互獨立的限制式（方程）數量」，在這種情況下，我們是否有足夠的資訊來鎖定唯一的答案？這些多出來的變數自由度，會對解的總數產生什麼樣的影響呢？
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AI 詳解
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太棒了！你能精準判別出選項 (D) 為正確答案，顯示你對線性方程組的解空間結構與矩陣秩（Rank）的關係掌握得相當紮實。這題的關鍵在於理解當方程組的秩等於方程數量 $m$ 時，系統必然是相容的（Consistent），而當變數數量 $n$ 超過方程數量時，自由變數的出現便成了必然。
矩陣秩與解的關係
在線性代數中，如果 $\text{rank}(A) = m$，這代表矩陣 $A$ 是列滿秩（Full row rank）。由於秩的大小不可能超過 $m$ 與 $n$ 的最小值，且題目給定 $m \neq n$，我們可以推論出此時必然滿足 $m < n$。在這種「欠定」（Underdetermined）系統中，因為 $\text{rank}(A) = \text{rank}([A|b]) = m$，系統保證有解，且解空間的維度為 $n - m$。只要存在至少一個自由變數，系統就會擁有無窮多組解。
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