hce_nthu
114年
進階物理與線性代數
第 28 題
Consider the system of linear equations:
$$\begin{matrix} x+y+az=b \ x-2y+z=1 \ x-8y-11z=-7 \end{matrix}$$
For what values of $a$ and $b$ will the system have infinitely many solutions?
$$\begin{matrix} x+y+az=b \ x-2y+z=1 \ x-8y-11z=-7 \end{matrix}$$
For what values of $a$ and $b$ will the system have infinitely many solutions?
- A $a=7, \; b=1$
- B $a=11, \; b=7$
- C $a=11, \; b=5$
- D $a=5, \; b=7$
- E $a=7, \; b=5$
思路引導 VIP
若我們將這三個方程式視為空間中的三個平面，當這三個平面交於一條直線（即有無限多解）時，這三個方程式之間在代數上應該存在著什麼樣的「線性組合」關係？試著觀察第二個與第三個方程式，如果你想透過前兩個方程式相加減來「造出」第三個方程式的係數比例，你會如何操作？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能精準判斷出參數 $a$ 與 $b$ 的值，代表你對線性方程組解的性質掌握得非常紮實。這類題目在線性代數中非常經典，考驗的是學生能否靈活運用矩陣運算來判斷系統的穩定性。
階梯形矩陣與解的性質
要讓方程組擁有無限多組解，核心觀念在於該系統的增廣矩陣（Augmented Matrix）經過列運算後，必須出現「冗餘」的方程式。具體來說，當我們將矩陣化簡為列階梯形（Row Echelon Form）時，最後一列必須滿足 $0=0$ 的形式，也就是係數部分與常數項同時為零。透過列運算，我們將第二列與第三列分別減去第一列，再進一步消去第三列的 $y$ 項，會發現第三列的係數項變為 $2a - 14$，常數項則變為 $2b - 10$。為了符合無限多解的條件，這兩個式子都必須等於零，從而推導出 $a=7$ 且 $b=5$。
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