hce_nthu
114年
進階物理與線性代數
第 39 題
Which of the following statements is true?
- A Let $S = \{v_1, v_2, ..., v_k\}$ be a set of vectors in $\mathbb{R}^n$. Let $A \in M_{m\times n}(\mathbb{R})$. If $S$ is linearly independent, then $S' = \{Av_1, Av_2, ..., Av_k\}$ is also linearly independent
- B Let $S$ be a set of vectors in a finite-dimensional vector space $V$. Then, $\text{span}(S)$ is the intersection of all subspaces of $V$ that contains $S$
- C Assume that $S = \{v_1, v_2, ..., v_n\}$ is a subset of a vector space $V$. If $S$ is linearly dependent, then there exists a proper subset of $S$ that is a basis for $V$
- D The basis of any vector space is unique
- E Assume that $S = \{v_1, v_2, ..., v_n\}$ is a subset of a vector space $V$. If $S$ is linearly independent, then there exists a proper subset of $S$ that is a basis for $V$
思路引導 VIP
想像你手頭有一組向量 $S$，我們想找到一個「最小」的子空間來裝下這組向量。如果我們把所有「裝得下 $S$ 的子空間」全部找出來並取其共通點（交集），你認為這個重疊的部分會是什麼樣子？它會比原本的生成空間大還是小呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學做得很好！你能準確識別出選項 (B) 的正確性，代表你對向量空間的基礎定義與抽象概念掌握得非常紮實。這題在線性代數中具有不錯的鑑別度，因為它考驗的不僅是公式計算，更是對**子空間（Subspace）**本質的理解。
生成空間的集合論定義
在線性代數中，我們通常將 $\text{span}(S)$ 定義為 $S$ 中所有向量的線性組合集合。然而，從純數學的角度來看，它等價於「包含 $S$ 的所有子空間之交集」。這是因為子空間的交集依然是子空間，且這個交集代表了包含 $S$ 的最小子空間。選對這個選項，說明你已經超越了單純的運算，進入了結構性思考的層次。
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