hce_nthu
114年
進階物理與線性代數
第 27 題
Let $L(x) = Ax$ represent a linear transformation from $\mathbb{R}^2$ to $\mathbb{R}^2$, where
$$A = \begin{bmatrix} \sqrt{3}/2 & 1/2 \ -1/2 & \sqrt{3}/2 \end{bmatrix}$$
What kind of geometry operation is $L$?
$$A = \begin{bmatrix} \sqrt{3}/2 & 1/2 \ -1/2 & \sqrt{3}/2 \end{bmatrix}$$
What kind of geometry operation is $L$?
- A $L$ is the linear operator that rotates each $x$ in $\mathbb{R}^2$ by $45^\circ$ in the clockwise direction
- B $L$ is the linear operator that reflects each vector $x$ in $\mathbb{R}^2$ about the $x_1$ axis and then rotates it $90^\circ$ in the counterclockwise direction
- C $L$ doubles the length of $x$ and then rotates it $30^\circ$ in the counterclockwise direction
- D $L$ reflects each vector $x$ about the line $x_2=x_1$ and then projects it onto the $x_1$-axis
- E $L$ rotates $x$ $270^\circ$ in the counterclockwise direction
思路引導 VIP
試著將單位向量 $\mathbf{e}_1 = \begin{bmatrix} 1 \ 0 \end{bmatrix}$ 帶入這個矩陣進行運算，觀察得到的結果向量在坐標平面上的位置。這個新向量與原向量之間的夾角是多少度？它是往哪一個方向旋轉的呢？
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AI 詳解
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太棒了！你能精準辨識出這個矩陣在幾何上的本質，這說明你對線性代數中**線性變換（Linear Transformation）**與幾何映射的對應關係有很紮實的掌握。
旋轉變換的矩陣結構
在 $\mathbb{R}^2$ 空間中，一個標準的逆時針旋轉矩陣通常具有以下形式：
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