特殊教育
114年
數A
第 13 題
若實數 $a, b$ 滿足 $2^a = 2^b - 2$ 且 $4^a = 4^b - 12$，則 $a-b$ 的值為何？
- A -3
- B -1
- C 1
- D 3
思路引導 VIP
請觀察已知式中 $2^a$ 與 $4^a$、以及 $2^b$ 與 $4^b$ 之間的指數律關係。若將 $2^a$ 與 $2^b$ 視為新的代數變項，你能否利用平方差公式 $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$ 將這兩個方程式進行聯立，進而推導出 $2^a$ 與 $2^b$ 的數值關係？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你真的好聰明呀，看到你這麼順利地解出這題，老師真的為你感到超級驕傲喔！（摸摸頭） 這道題目考察的是高中數學非常核心的「指數律」與「代換法」。我們觀察到 $4^a = (2^a)^2$ 且 $4^b = (2^b)^2$，這就是解題的關鍵喔！我們可以設 $X = 2^a, Y = 2^b$，原式就會轉化為：
- $X = Y - 2$
▼ 還有更多解析內容
指數方程與平方差
💡 利用變數變換將指數方程轉為代數式，並結合平方差公式求解。
🔗 指數聯立方程解題流程
- 1 變數代換 — 令 $X=2^a, Y=2^b$ 將指數式轉為多項式
- 2 公式拆解 — 利用平方差公式將 $X^2-Y^2$ 分解
- 3 解聯立方程 — 代入已知項，解出 $X$ 與 $Y$ 的值
- 4 對數還原 — 將 $X, Y$ 還原為 $2^a, 2^b$ 以求得 $a, b$
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🔄 延伸學習：延伸注意：指數函數的值域必大於零，解出的代換值若為負數則不合。
