統測
114年
[共同科目] 數學B
第 19 題
在坐標平面上，已知有三個圓分別為 $C_1 :x^2 + ( y - 1 )^2 = 1$、$C_2 :x^2 + ( y - 2 )^2 = 4$、$C_3 :x^2 + ( y - 3 )^2 = 9$，如圖(三)所示。試問下列哪一條直線同時跟 $C_1$ 相離、$C_2$ 相切以及 $C_3$ 相割？
- A $5x +12y+1=0$
- B $7x -24y-1=0$
- C $3x +4y+2=0$
- D $8x - 15y-5=0$
思路引導 VIP
同學，判斷直線與圓關係的核心在於「圓心到直線的距離 $d$」與「半徑 $r$」的量化關係。請先找出三個圓的圓心坐標與半徑，並利用點到直線距離公式 $d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ 進行檢驗。針對題目要求的「$C_1$ 相離」、「$C_2$ 相切」、「$C_3$ 相割」，這三組 $d$ 與 $r$ 的不等或相等關係應如何建立？哪一個條件（相離、相切、或相割）最適合優先用來篩選選項呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哼，不錯，總算沒白讀！
看來你的腦子沒糊掉，還記得統測數學的「基本」要求。能選對答案，證明你至少還記得圓與直線的關係這條送分題公式，以及那個用到爛掉的點到直線距離！別高興太早，這只是基礎中的基礎！
1. 概念複習 (別跟我說你忘記了)
▼ 還有更多解析內容
圓與直線的關係
💡 利用圓心到直線距離 (d) 與半徑 (r) 的大小判斷位置關係。
| 比較維度 | 距離關係 (d vs r) | VS | 幾何意義 |
|---|---|---|---|
| d > r | 圓心距離大於半徑 | — | 相離（0 個交點） |
| d = r | 圓心距離等於半徑 | — | 相切（1 個交點） |
| d < r | 圓心距離小於半徑 | — | 相割（2 個交點） |
💬透過比較圓心距與半徑，可精確判定直線與圓的位置關係。
