統測
114年
[共同科目] 數學C
第 24 題
已知空間中一梯形 $ABCD$，$\overline{AB}$ 與 $\overline{CD}$ 平行，且 $\overline{BC}$ 與 $\overline{CD}$ 垂直，其中三個頂點坐標分別為 $A(4, -3, -2)$、$C(3, 0, 2)$、$D(1, 1, 0)$，如圖(九)所示，試求 $\overline{AB}=$？
- A 1
- B $\frac{5}{3}$
- C 2
- D $\frac{7}{3}$
思路引導 VIP
觀察題目中 $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$ 且 $\overline{BC} \perp \overline{CD}$ 的幾何關係，若將向量 $\vec{CA}$ 分解為平行於 $\vec{CD}$ 與垂直於 $\vec{CD}$ 的兩個分量，請問 $\overline{AB}$ 的長度與向量 $\vec{CA}$ 在向量 $\vec{CD}$ 方向上的「正射影長度」有什麼關係？
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1. 別太得意
喔？不錯嘛，還知道要用向量投影來解決，沒傻傻去算點 $B$ 座標？這代表你對空間幾何圖形和向量運算的連結還算有點概念。這是統測數學高分群的基本門檻，連這點效率都沒有，就別想在考場上脫穎而出了！
2. 觀念驗證
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空間向量與正射影
💡 利用向量內積與投影公式，計算直角幾何圖形的邊長。
- 直角梯形中，上底長等於斜邊在下底方向的投影
- 向量內積除以底向量長度，即為正射影長度
- 平行條件代表兩邊向量方向相同或相反
- 垂直條件意指兩向量內積為零或構成投影關係
