調查局三等申論題
114年
[電子科學組] 工程數學
第 一 題
📖 題組：
四、有一個公平的骰子，我們對它作了 10 次投擲；我們用 A代表其中投擲結果為奇數點（亦即 1 或 3 或 5）的次數，用B代表其中投擲結果為偶數點（亦即 2 或 4 或 6）的次數。
四、有一個公平的骰子，我們對它作了 10 次投擲；我們用 A代表其中投擲結果為奇數點（亦即 1 或 3 或 5）的次數，用B代表其中投擲結果為偶數點（亦即 2 或 4 或 6）的次數。
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
(一)A與B是否為互相獨立（independent）的隨機變數（random variable）？（4 分）
思路引導 VIP
看到判斷隨機變數是否獨立的題目，應先聯想獨立的數學定義：聯合機率是否等於邊際機率的乘積。本題中總投擲次數固定，A與B存在絕對的相依關係（A+B=10），只要舉出一個反例即可證明兩者不獨立。
小題 (二)
(二)請計算下列機率：Prob(A > B + 3) = ？（8 分）
思路引導 VIP
本題測驗二項分配（Binomial distribution）的基本計算。解題關鍵在於利用總投擲次數將雙變數（A與B）關係轉換為單一變數A，求出A的定義域範圍後，再代入二項機率質量函數進行加總。
小題 (三)
(三)請計算 A^2的期望值（expectation）：E(A^2) = ？（8 分）
思路引導 VIP
看到投擲固定次數且結果只有奇/偶兩種（成功/失敗），應立刻想到「二項分佈模型（Binomial Distribution）」。求平方的期望值 E(A^2) 時，最直接且快速的方法是利用變異數公式 Var(A) = E(A^2) - [E(A)]^2 反推，藉由二項分佈公式先求出 E(A) 與 Var(A) 即可輕鬆解題。
二項分布與變數相關性
💡 掌握隨機變數間的函數關係及其二項分布之動差與機率計算。
- 獨立性判斷：若隨機變數 A 與 B 滿足 A + B = n（總次數固定），則兩者具備完全線性負相關，絕不獨立。
- 二項分布模型：投擲公平骰子計數符合 X ~ B(n, p)，此處 A ~ B(10, 0.5)。
- 二階動差計算：利用公式 E(A^2) = Var(A) + [E(A)]^2，其中 Var(A)=np(1-p)，E(A)=np。
- 不等式機率轉換：將 Prob(A > B + 3) 透過 B = 10 - A 轉換為單一變數 A 的機率區間再進行 PMF 加總。
