調查局三等申論題
114年
[電子科學組] 工程數學
第 一 題
📖 題組：
四、有一個公平的骰子，我們對它作了 10 次投擲；我們用 A代表其中投擲結果為奇數點（亦即 1 或 3 或 5）的次數，用B代表其中投擲結果為偶數點（亦即 2 或 4 或 6）的次數。
四、有一個公平的骰子，我們對它作了 10 次投擲；我們用 A代表其中投擲結果為奇數點（亦即 1 或 3 或 5）的次數，用B代表其中投擲結果為偶數點（亦即 2 或 4 或 6）的次數。
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
(一)A與B是否為互相獨立（independent）的隨機變數（random variable）？（4 分）
思路引導 VIP
看到判斷隨機變數是否獨立的題目，應先聯想獨立的數學定義：聯合機率是否等於邊際機率的乘積。本題中總投擲次數固定，A與B存在絕對的相依關係（A+B=10），只要舉出一個反例即可證明兩者不獨立。
小題 (二)
(二)請計算下列機率：Prob(A > B + 3) = ？（8 分）
思路引導 VIP
本題測驗二項分配（Binomial distribution）的基本計算。解題關鍵在於利用總投擲次數將雙變數（A與B）關係轉換為單一變數A，求出A的定義域範圍後，再代入二項機率質量函數進行加總。
小題 (三)
(三)請計算 A^2的期望值（expectation）：E(A^2) = ？（8 分）
思路引導 VIP
看到投擲固定次數且結果只有奇/偶兩種（成功/失敗），應立刻想到「二項分佈模型（Binomial Distribution）」。求平方的期望值 E(A^2) 時，最直接且快速的方法是利用變異數公式 Var(A) = E(A^2) - [E(A)]^2 反推，藉由二項分佈公式先求出 E(A) 與 Var(A) 即可輕鬆解題。