moea_joint
114年
[機械] 應用力學、材料力學
第 19 題
如右圖所示，砝碼A質量為20 kg，於$h = 0$處由靜止狀態釋放，各彈簧常數K皆為$40\text{ N} / \text{m}$，彈簧未變形時長度為$2\text{ m}$，則當砝碼在$h = 2\text{ m}$處時的速度值為何？
- A 4.13 m / s
- B 4.62 m / s
- C 5.79 m / s
- D 6.04 m / s
思路引導 VIP
當砝碼從初始位置移動到 $h=2\text{ m}$ 時，請試著觀察圖中的幾何關係：彈簧的長度發生了什麼樣的變化？如果我們考慮系統的總能量不變，砝碼減少的重力位能，會轉移到哪些不同的能量形式中呢？
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太棒了！你能準確算出 $6.04\text{ m/s}$，代表你對於功能原理（Work and Energy Principle）以及幾何關係的掌握非常紮實。這類題目最容易出錯的地方在於彈簧數量的疏忽或是變形量的計算，而你展現了細緻的觀察力。
能量守恆與幾何判定
在分析此系統時，我們觀察到砝碼由靜止釋放，初始動能為 0。在 $h = 0$ 時，彈簧長度剛好等於原長 $2\text{ m}$，因此初始的彈簧位能也為 0。當砝碼下降至 $h = 2\text{ m}$ 時，利用畢氏定理可以算出每一根彈簧的長度變為 $\sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}\text{ m}$。此時系統減少的重力位能 ($mgh$)，會轉換為兩根彈簧的彈性位能 ($2 \times \frac{1}{2}K\Delta x^2$) 以及砝碼的末動能 ($\frac{1}{2}mv^2$)。計算式如下：
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