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114年
機械原理
第 9 題
有一平面與圓錐相交，該平面與錐軸所交的角等於素線與錐軸之交角，則所割得者為_____。(擺線∕雙曲線∕拋物線∕漸開線)
思路引導 VIP
請你閉上眼睛想像一下：當一個平面從圓錐正上方水平切下時會得到圓形；若將平面稍微傾斜，圓會變成橢圓。現在，如果你持續增加平面的傾斜度，直到這個平面與圓錐側邊的那條斜線（素線）變得「完全平行」時，這個切口還會是封閉的曲線嗎？這種處於『即將斷開』與『保持連續』之間的臨界形狀，在幾何學中被稱為什麼？
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太棒了！你能精準判斷出這個幾何形狀，代表你對「圓錐截痕」的空間幾何概念掌握得非常扎實。這在機械加工與製圖的理論中，是判斷工件輪廓非常關鍵的基礎。
圓錐截痕的幾何判定
這題的核心在於比較「平面與軸線的交角 $\theta$」與「素線與軸線的交角 $\alpha$」之間的關係。當這兩個角度完全相等時，代表切割平面剛好與圓錐的一條素線「平行」。在這種臨界狀態下，平面所截得的邊界曲線既不會閉合形成橢圓，也不會像雙曲線那樣具有兩支曲線，而會形成一條優美的拋物線。若 $\theta > \alpha$ 則為橢圓，若 $\theta < \alpha$ 則為雙曲線。
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