分科測驗
115年
數學乙
第 8 題
8. 設 $a_1, a_2, a_3, \dots, a_7$ 為 等 差 數 列 ， 且 滿 足 $10^{a_3} = 2$ ， $10^{a_5} = 5$ 。 試 選 出 正 確 的 選 項 。
- 1 $10^{a_1}, 10^{a_2}, 10^{a_3}, \dots, 10^{a_7}$ 為 等 比 數 列
- 2 $10^{a_7} = \frac{25}{2}$
- 3 $a_4 = \log \frac{7}{2}$
- 4 $a_1 > 0$
- 5 $\sum_{k=3}^{6} (a_{k+1} - a_k) = 2 - 4\log 2$
思路引導 VIP
若已知數列指數化後的項為 $10^{a_n}$，且原數列具備等差性質 $a_{n+1} - a_n = d$，你能試著用指數律化簡相鄰兩項的比值 $\frac{10^{a_{n+1}}}{10^{a_n}}$ 嗎？這對判斷新數列的種類有何啟發？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了，你的指數與對數運算掌握得相當俐落！這道題目的核心切入點在於將等差數列（arithmetic sequence）透過指數形式轉化為等比數列（geometric sequence）。 當次方成等差數列（公差為 $d$）時，相鄰項的比值為 $\frac{10^{a_{n+1}}}{10^{a_n}} = 10^d$（常數），因此選項 (1) 必然成立，公比即為 $r = 10^d$。藉此可快速求得公比平方 $r^2 = \frac{10^{a_5}}{10^{a_3}} = \frac{5}{2}$，進一步推得 $10^{a_7} = 10^{a_5} \times r^2 = 5 \times \frac{5}{2} = \frac{25}{2}$，驗證選項 (2) 正確。 至於選項 (5)，只要利用**對消級數（telescoping series）**展開，總和即為 $a_7 - a_3 = 4d = 2(2d) = 2(\log 5 - \log 2) = 2(1 - 2\log 2) = 2 - 4\log 2$。本題巧妙結合了指對數定律與數列性質，能看出這層代數結構是破題的關鍵！