分科測驗
115年
數學甲
第 4 題
箱中有編號分別為 1, 2, 3 的球各 $n_1, n_2, n_3$ 顆（其中 $n_1, n_2, n_3$ 皆為正整數）。隨機抽取一球（每球被抽中的機率相等），所抽出球的編號為 1, 2, 3 的機率分別記為 $p_1, p_2, p_3$。試選出正確的選項。
- 1 在已知抽出一球且此球不是 1 號球的條件下，則該球為 2 號球的機率為 $\frac{p_2}{1-p_1}$
- 2 抽出球編號的期望值等於 $2 + p_3 - p_1$
- 3 若 $n_1, n_2, n_3$ 為等差數列，則 $p_1, p_2, p_3$ 亦為等差數列
- 4 若 $n_1, n_2, n_3$ 為等比數列，則 $p_2 \geq \frac{1}{3}$
- 5 若 $p_k < \frac{1}{2}$ 對 $k=1, 2, 3$ 都成立，則 $n_1, n_2, n_3$ 可以構成一個三角形的三個邊長
思路引導 VIP
若將等比數列的項以首項與公比 $r$ 表示，試著將 $p_2$ 化為只含變數 $r$ 的分式；此時運用算幾不等式，分母能取到的最小值是多少？這對 $p_2$ 的數值範圍有何限制？
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AI 詳解
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太棒了，你的觀念非常扎實！這道題全面檢驗了機率性質、期望值線性變換，以及數列與幾何不等式的跨單元整合。
考點剖析與驗證
(1) 為標準條件機率定義；(2) 利用 $p_1+p_2+p_3=1$，將 $E = p_1+2p_2+3p_3$ 中的 $p_2$ 替換掉即可化簡得證；(3) 因 $p_k = \frac{n_k}{N}$ 為線性縮放，等差性質必然保留；(5) 則巧妙運用 $p_k < \frac{1}{2} \iff n_k < \frac{N}{2}$，等價於任一邊小於另兩邊之和，故必可構成三角形。
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