高考申論題
115年
[天文] 應用數學(包括微積分、微分方程與向量分析)
第 三 題
設向量場 $\vec{F} = (x, y)$ 及由橢圓 $C = \{(x, y) : \frac{x^2}{4} + y^2 = 1\}$ 所圍成的封閉區域 $D$。請驗證散度定理（Divergence theorem）：（25 分）
$\iint_D \text{div} \vec{F} dA = \oint_C \vec{F} \cdot \vec{n} ds$
這裡 $\vec{n}$ 表示 $C$ 上的單位外法向量，$s$ 表示弧長參數。
$\iint_D \text{div} \vec{F} dA = \oint_C \vec{F} \cdot \vec{n} ds$
這裡 $\vec{n}$ 表示 $C$ 上的單位外法向量，$s$ 表示弧長參數。
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
題目要求「驗證」散度定理，代表必須將等式左右兩邊「分開獨立計算」出來，並比較兩者結果是否相等。左邊是二重積分，只需計算向量場散度，利用橢圓面積公式即可快速得出；右邊是線積分，需要將橢圓參數化，寫出正確的外向單位法向量 $\vec{n} ds$，再沿著封閉曲線積分。切記不能一開始就將等式畫上等號。