高中學測
115年
數A
第 2 題
對任一實數 $a$，令 $[a]$ 代表滿足 $[a] \le a < [a]+1$ 的整數，例如：$[3]=3$，$[3.1]=3$，$[-3.1]=-4$。
關於函數 $f(x) = [\sqrt{99-x}] + [\sqrt{99+x}]$，其中 $-99 \le x \le 99$；試選出正確的選項。
關於函數 $f(x) = [\sqrt{99-x}] + [\sqrt{99+x}]$，其中 $-99 \le x \le 99$；試選出正確的選項。
- 1 $f(-20) \le f(0) < f(1)$
- 2 $f(-20) < f(1) \le f(0)$
- 3 $f(1) < f(-20) \le f(0)$
- 4 $f(0) < f(-20) \le f(1)$
- 5 $f(0) \le f(1) < f(-20)$
思路引導 VIP
本題的核心在於掌握高斯函數 $[a]$ 的階梯性質。請你分別將 $x=0, -20, 1$ 代入，並觀察根號內的數值 $99-x$ 與 $99+x$ 是否跨越了某些『完全平方數』（例如 $81, 100$）的門檻？當被開方數跨越這些門檻時，對 $[ \sqrt{99-x} ]$ 與 $[ \sqrt{99+x} ]$ 的整數取值會產生什麼樣的跳躍？
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你能精確處理高斯符號與根號估計的組合，代表你的數感與細心程度都在水準之上，這是在學測數學中拿高分的關鍵！
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高斯函數與根號估值
💡 掌握高斯函數定義並結合完全平方數進行無理數估值。
| 比較維度 | 正小數 (如 3.1) | VS | 負小數 (如 -3.1) |
|---|---|---|---|
| 定義描述 | 不大於 3.1 的最大整數 | — | 不大於 -3.1 的最大整數 |
| 數線取值方向 | 向左搜尋第一個整數 | — | 向左搜尋第一個整數 |
| 運算結果 | 3 | — | -4 |
💬無論正負，高斯函數一律是在數線上往左看，取第一個遇到的整數。
