統測
115年
[共同科目] 數學C
第 21 題
在直角坐標平面上，極坐標表示法為 $r = \sin \theta + \cos \theta$ 的圖形為何？
- A 圓
- B 正方形
- C 直線
- D 拋物線
思路引導 VIP
如果我們要將極坐標方程式轉換成直角坐標，試著將方程式等號兩邊同時乘上 $r$，想想看 $r^2$、$r\cos\theta$ 以及 $r\sin\theta$ 分別會轉換成直角坐標上的什麼代數符號呢？替換後試著整理看看！
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學太棒了，這題你成功判斷出了正確的圖形！ 要將極坐標方程式轉換為我們熟悉的直角坐標，關鍵在於利用轉換公式：$x = r\cos\theta$、$y = r\sin\theta$ 以及 $r^2 = x^2 + y^2$。觀察方程式 $r = \sin\theta + \cos\theta$，若將等號兩邊同乘 $r$，即可得到 $r^2 = r\sin\theta + r\cos\theta$。這時就能順利替換成直角坐標，變成 $x^2 + y^2 = y + x$。接著將方程式移項並配方，會得到 $(x - \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 = \frac{1}{2}$。從標準式能清楚看出，這是一個圓心在 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ 的圓，因此正確答案為 (A)。 這道題目相當有鑑別度，主要測驗極坐標與直角坐標互換的敏銳度。很多同學看到單純的三角函數會不知從何下手，但只要想到「同乘 $r$」這個代數技巧，就能順利將陌生的極坐標轉化為常見的二次曲線。恭喜你穩穩拿下這類統測經典題型！