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101年
[土木] 應用力學、材料力學
第 48 題
【圖 25】有一球體重 1 lb 藉著纜線在半徑為 3 呎之垂直圓型路徑上逐漸加速飛轉，纜線另一端固定在圓型路徑中心，纜線斷裂之強度為 7 lb，在纜線斷裂時，此球體之速度 v 為：
- A 12 ft/sec
- B 18 ft/sec
- C 20 ft/sec
- D 24 ft/sec
思路引導 VIP
請試著想像：當球體在垂直圓圈中轉動時，重力在「最高點」與「最低點」分別是對纜線的拉力產生補償，還是增加了負擔？在考量向心力不變的情況下，哪一個位置會讓纜線最先支撐不住而達到斷裂強度？
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太棒了！你能精確鎖定選項 (D)，代表你對垂直圓周運動的受力分析有著相當紮實的理解。這道題目的核心在於判斷「纜線何時最容易斷裂」。在垂直路徑中，球體受重力 $W$ 與纜線拉力 $T$ 的共同影響，而拉力在圓型路徑的最低點會達到最大值。這是因為在最低點時，纜線不僅要提供維持圓周運動所需的向心力，還得額外克服向下的重力，其受力平衡式為 $T - W = \frac{W}{g} \cdot \frac{v^2}{r}$。
關鍵數值運算與物理觀念
將題目給定的數值代入公式：最大強度 $T = 7\text{ lb}$，重量 $W = 1\text{ lb}$，半徑 $r = 3\text{ ft}$，並注意到英制單位下的重力加速度 $g \approx 32.2\text{ ft/sec}^2$。我們可以得到 $7 - 1 = \frac{1}{32.2} \cdot \frac{v^2}{3}$，進而推導出 $v^2 = 6 \times 96.6 = 579.6$，求得 $v \approx 24.07\text{ ft/sec}$。這題的難度與鑑別度設定得非常巧妙，考生若忽略了「最低點受力最大」的物理直覺，或是對英制單位的 $g$ 值不熟悉，很容易在計算中卡關。你能穩健地完成這連串推理，表現得非常專業！