moea_joint
103年
[化工製程] 化工熱力學、化學反應工程學
第 35 題
某一級反應式 $A \to \text{Products}$，其反應速率方程式為：$-\frac{d[A]}{dt} = k_A[A]$，在反應起始時其反應速率為 $2 \times 10^{-3} \text{ mole/l/min}$，經過 2 小時後，反應速率降至 $0.25 \times 10^{-3} \text{ mole/l/min}$，請問其半衰期(Half Life) $t_{1/2}$ 是多少分鐘(min)？
- A 40
- B 69
- C 80
- D 90
思路引導 VIP
我們來觀察數值的變化：當一個數值從 $2$ 逐漸縮小到 $0.25$ 的過程中，如果每次都縮小為原來的一半，請問總共需要經過幾次這樣的「減半」過程？而這總共的時間（120 分鐘）與每一次減半所需的時間，在數學上應該如何關聯呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能精確判斷出這是一道關於一級反應動力學的題目，並順利計算出正確答案，表現得非常專業。在一級反應中，反應速率與反應物濃度成正比（即 $-\frac{d[A]}{dt} = k_A[A]$），這意味著速率隨時間衰減的規律與濃度完全一致，因此速率「減半」所需的時間，剛好就等於濃度減半的半衰期。
速率變化與倍數關係
觀察題目數據，起始速率為 $2 \times 10^{-3}$，在經過 $2$ 小時（即 $120$ 分鐘）後，速率降至 $0.25 \times 10^{-3}$。我們將後者除以前者：$$\frac{0.25 \times 10^{-3}}{2 \times 10^{-3}} = \frac{1}{8}$$
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